現代数理科学概論

Introduction to ModernMatehmatical Sciences

9989G56

L1NATURb27

佐藤　喜一郎

Ki-ichiro Sato

2026年度後期

2026年度

②Second semester

火曜1限

Tuesday 1st Period

経営学部　国際デザイン経営学科（一般教養科目）

A course of liberal arts, the Department of International Design Management, School of Management

2.0単位

講義

Lecture

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① [対面]対面授業/ [On-site] On-site class

量子情報、量子コンピュータなど、２１世紀の最先端の計算技術・情報通信技術は、今からおよそ１００年前に誕生した量子力学に基づくものが使われる。量子力学自身は本来原子のような微視的な世界を記述する理論である。しかし、情報理論で使われる有限状態遷移モデルは、量子力学でのみ扱えるspin自由度の量子状態での状態遷移として実現できるので量子情報理論は量子力学の直接の応用となっている。そして、その量子力学は、必修科目として学ぶ「線形代数学」の直接的応用となっているので、大学の初年次の知識で理解できる範疇になっている。

そこで、本授業では、線形代数学が具体的にどのように生かされるのかを、
・線形写像の応用としてのユークリッド幾何学の世界
・行列の対角化・固有値問題の応用としての量子力学の世界
で実例を交えて体感する。

具体的には、前者では、並進や回転を線形写像としての性質を解析し、その上で一般の線型写像を表す行列の意味を探る。また、後者、量子力学ではHermite演算子の固有値問題が量子力学的問題そのものであることを学ぶ。その重要な例としてspinの自由度、正確にはspin角運動量の取り扱いを学び、量子情報・量子コンピュータなどの理解の基礎を固める。射影測定に基づく量子力学の観測の理論・Bornの確率解釈の初歩を学ぶ。それとともに、この分野で特徴的に応用される量子もつれ(Quantum Entanglement)の意味を完全に把握できるようにする。

国際デザイン経営学科のカリキュラム・ポリシーの4 に規定される「⾃然・⼈間・社会を幅広く俯瞰できる能⼒、論理的・批判的思考⼒、コミュニケーション能⼒、国際性、⾃⼰管理能⼒を養う」ための科⽬の⼀つであり、くさび型科目としてBカテゴリーで開講する。

・演算で閉じる数の集合としての代数学の初歩を理解する
・複素数体までの数の集合の代数的理解
・線形代数学の体系（行列の積と線形写像、ベクトル空間、ベクトル空間と線形写像の行列表現,...、計量的性質はさらに別）
・対称性の線形変換での不変性での表現、２次形式の不変性、内積との関係
・変換群：行列の積が閉じる世界、変換の可換か非可換かと行列の積での性質の対応
・直交変換・ユニタリ変換とは何か
・相対論のMinkowoski時空での表現、Lorentz変換と時間の遅れLorntz収縮
・量子力学の基本法則の線形代数的理解
　　・Heisenbergの交換関係
　　・Hilbert空間、内積と双対空間・Dracのブラケット
　　・運動方程式・Schroedinger方程式
　　・Hermite演算子と固有値問題
　　・スペクトル表示・射影測定とBornの確率解釈
・調和振動子の量子力学
・角運動量の代数とその表現・Pauliのspinの記述
・テンソル積状態、量子もつれとは何か

リンク先の [評価項目と科目の対応一覧]から確認できます（学部対象）。
履修登録の際に参照ください。
​You can check this from “Correspondence table between grading items and subjects” by following the link(for departments).
https://www.tus.ac.jp/fd/ict_tusrubric/​​​

担当者は、2026年度は「初年次教養ゼミ」として演習形式の授業を開講しないので、相対論や量子力学・量子情報に関心のある学生はこちらの授業を受講するとよい。

課題に対する作文　Essay／ディベート・ディスカッション　Debate/Discussion／PBL (課題解決型学習)　Problem-based learning／-

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大学の授業は、時間割上の授業時間に加え、その2倍にあたる授業時間外の学習(予習・復習)をもって構成される。
本授業は2単位なので、以下のように、予習・準備学習と復習であわせて4時間の学習を行う必要がある。

【準備学習】
「線形代数学および演習1」の授業を復習し、行列の基本計算や行列式の基本計算を確実にしておく。
そのうえで、「線形代数学および演習2」を予習しておくほとが望ましい。「線形代数学2および演習2」よりも進度が早い可能性がある。
この授業では、1年生で学ぶ線形代数学のうち、Jordanの標準系以外の全範囲をカバーするので、線形代数学の体系を知っておくことが何より重要である。

【復習】
計算が必要な場面では、可能な限り省略しないで説明するが、それでもすぐに理解することは難しい可能性があるので、復習が非常に重要である。板書の内容や授業中に扱い切れなかったことの説明はLETUS（https://letus.ed.tus.ac.jp/course/view.php?id=180757）で随時公開するので復習に役立てること。

理解できた内容の確認のため、課題が課される。最終目的は、線形代数的計算が合うことではなく、線形代数事項で計算ができる部分が幾何学や量子力学に応用されていることを学ぶことであるから、計算は検算を行い、計算結果の意味までを考えてほしい。

課題のレポートで評価を行う。

結果が合うことではなく、計算のプロセス（その計算がどうして必要なのか）が重要であるから、レポート作成においては文章での説明が極めて重要である。

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

N

線形代数学の教科書をいつでも参照できるようにしておくとよい。

教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/​​​

It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
​​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/

相対論については、アファイン幾何学・射影幾何学・共形幾何学の本があると良いのであるが、純数学の本では入門には難しい。LETUSに、昨年授業資料（板書）を掲載するのでので、そちらを参照してほしい。

量子力学の入門の教科書としては、量子力学とはどういうものかを理解するために使用できるものとして、

0)清水明，新版 量子論の基礎，サイエンス社，4-7819-1062-9

を挙げる。授業の本題であるspin角運動量の量子化の資料はPDFで別途LETUSから配布する。

ブラケットに基づく現代的な量子力学の教科書としては
1) J.J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Springer, 978-4-201-53929-2
(日本語訳は吉岡書店から出ている)

量子力学の巨匠による教科書で歴史的な記述に満ち溢れているもの
2a) 朝永振一郎，量子力学I, II，みすず書房, 978-4-622-02551-5, 978-622-04105-7
2b) 朝永振一郎，角運動量とスピン，みすず書房, 978-4-622-04081-6
3) 朝永振一郎，新版 スピンはめぐる，みすず書房, 978-4-622-07369-7

数学的な部分から何から全ての計算が書いてある網羅的かつ現代的な教科書としては
4) 猪木慶治，河合光，量子力学I, II，講談社, 978-4-06-153209-X, 978-4-06-153212-X

実験技術の発展にあわせた量子力学の教科書としては
5) 勝本信吾，量子の匠〜実験量子力学入門，丸善出版，978-4-621-08401-4

発展的な内容として「量子情報」がある。新刊が続々でてきているが，代表的な教科書には，
6) 石坂智・小川朋宏・河内亮周・木村元・林正人著，量子情報科学入門，共立出版，978-4-320-12299-4
がある。

量子情報まで見据えた数学の基礎は
7) 中原幹夫著，「量子物理学のための線形代数 - ベクトルから量子情報へ」，培風館，978-4-563-02516-8，3200円

量子情報を見据えた量子力学の入門書には
8) 北野正雄、「量子力学の基礎」、共立出版、978-4-320-03462-4
がある。

1. ガイダンス
量子力学の発展史と基本概念を授業計画に現れるキーワードで学ぶ。
演習中心で授業が行われるため授業の進め方を解説する

2. 複素数---四則演算で閉じる集合＝体として
四則演算・冪乗で閉じる集合として複素数までの数の集合を理解し，ベクトル空間の足がかりを得る

3. 代数学の基礎
行列を導入し，掛け算が可換ではない2行2列の行列の世界を知る

4. ベクトルとベクトル空間
線形結合で閉じる集合としてベクトル空間を導入し，内積はベクトル空間の計量的性質として新たに導入できることを学ぶ。

5. 線形写像と行列の積
任意のnm型行列の積を考え、特集な例として列ベクトルや行ベクトルの積を含む積が確実の定義されていることを学ぶ。その中で、内積だけではなくdiad積という素朴なテンソル積も含まれていることを学ぶ。

6.Kleinの変換の幾何学と線形代数
線形写像により並進と回転を表現し、図形の性質を調べる幾何学が成立することを学ぶ

7.変換の幾何学から量子力学へ
行列を用いた変換の幾何学の一般化（相似を含む拡張や、アファイン幾何学・射影幾何学への発展報）
量子力学への複素ベクトル空間への拡張法などの線形代数学の基礎を学ぶ。

8. 量子力学と線形代数学1
内積を中心に、ベクトル空間や線形写像の表現としてのベクトル・行列の計算を概説し、Diracのbra^chketの記号の紹介を行う。

9. 量子力学と線形代数2
固有ベクトルが完全系をなすことの意味，射影演算子の意味などを説明したのち，量子力学として知っておくべき事項をまとめる。

10.量子力学と線形代数3
Bornの確率解釈の意味を確実にするために、射影測定の意味を、サイコロの量子力学で考える。
サイコロ(dice)は1から6の目が等確率で出る道具として、確率・統計の問題で良くモデル採用されるが、量子力学版のサイコロが存在すると、測定の前後の意味がよりクリアーに説明できる。

11. 量子力学と線形代数4
固有値問題が「行列のまま」簡単に解ける調和振動子の力学を学ぶ。

12. 量子情報1
量子情報で使われるQubitは2準位系であればなんでも良いが、その一番簡単な系が、spin角運動量の1/2の表現であり、具体的にはPauliのspin行列が基礎となる。角運動量のSO(3)の代数を満たすことを学び，その表現に必要な昇降演算子演算子の性質を明らかにし，SO(3)代数のユニタリ表現を構成する。その行列表現の具体形から2次元表現ではPauliのspin行列が導出されることを学ぶ。

13. 量子情報2
引き続き、角運動量の代数のユニタリ表現を求める。spin 1/2の表現として、Pauliのspin行列が出現するのは偶然ではないことを学ぶ。

14. 量子情報3
２つのspinの合成にも言及し、２Qubitを扱うためのテンソル積と、テンソル積状態に関する、演算子の具体形を一般的に議論し、量子もつれのある状態の取り扱いに備える。

15.量子力学の展開
2つのspin角運動量の合成の応用として、量子情報における2Qbitsの記述・量子もつれ(Quantum Entanglement)の話題を取り扱い,量子テレポーテーションなど，量子力学の発展的話題をとりあげる。

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課題提出の必要に応じて、「情報基礎1,2」のExcelや「プログラミング基礎1,2」のPythonでのプログラミング、描画の機能を使い、可視化を行うと授業の相互理解がより深まる。

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