解析学特論D

Selected Topics on Analysis D

996B401

61MAANA504

相木　雅次

Masashi Aiki

2026年度後期

2026年度

②Second semester

金曜2限

Friday 2nd period

創域理工学研究科　数理科学専攻

Department of Mathematics, Graduate School of Science and Technology

2.0単位

講義

Lecture

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① [対面]対面授業/ [On-site] On-site class

物理現象を表す偏微分方程式の代表例である熱方程式を例にとり，「エネルギー法」による偏微分方程式の解析手法を紹介する．フーリエ変換やソボレフ空間に関する基本事項の復習・解説を行った上で，線形熱方程式に対する初期値問題の可解性を示す．また，非線形熱方程式の可解性についても議論する．

We study the energy method for analyzing partial differential equations. After reviewing necessary theories of the Fourier transformation and Sobolev spaces, we prove the solvability of initial value problem for the linear heat equation. Furthermore, we discuss the solvability of certain nonlinear heat equation. 

エネルギー法による偏微分方程式の解析方法を学ぶ．

To study the energy method of analyzing partial differential equations.

偏微分方程式に対するエネルギー法と付随する基本事項を理解する．

To understand the energy method of partial differential equations and related basic topics.

関数解析，ルベーグ積分論等を理解していることが望ましい．

Basic knowledge on functional analysis and Lebesgue integral is preferred.

課題に対する作文　Essay

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最低限必要な知識の復習をするが，煩雑な計算を伴った証明もあるため，各自でしっかり復習し．理解を深めてもらいたい．
時間的な目安は，復習を中心に準備学習も込めて4時間程度である．

Although some basic knowledge will be reviewed in the course, the proofs explained in the course will be complicated and hence require thorough preparation. 2 hours of reviewing lectures and 2 hours preparing for the next lecture is recommended.

レポート課題により判定する．

Students will be evaluated by their final report.

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

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教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/​​​

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１．導入：物理現象を表す偏微分方程式
２．ソボレフ空間を導入するモチベーション
３．ソボレフ空間の定義と基本事項１
４．ソボレフ空間の定義と基本事項２
５．フーリエ変換の定義と基本事項１
６．フーリエ変換の定義と基本事項２
７．ソボレフ空間とフーリエ変換
８．斉次線形熱方程式の解の存在と一意性１
９．斉次線形熱方程式の解の存在と一意性２
１０．非斉次線形熱方程式の解の存在と一意性１
１１．非斉次線形熱方程式の解の存在と一意性２
１２．非線形熱方程式の解の存在と一意性１
１３．非線形熱方程式の解の存在と一意性２
１４．非線形熱方程式の解の存在と一意性３
１５．まとめ


1. Introduction: Partial differential equations describing physical phenomena
2. Motivation for introducing Sobolev spaces
3. Definition and basics of Sobolev spaces 1
4. Definition and basics of Sobolev spaces2
5. Definition and basics of Fourier transformation 1
6. Definition and basics of Fourier transformation 2
7. Sobolev space and Fourier transformation
8. Solvability of homogeneous linear heat equation 1
9. Solvability of homogeneous linear heat equation 2
10. Solvability of nonhomogeneous linear heat equation 1
11. Solvability of nonhomogeneous linear heat equation 2
12. Solvability of nonlinear heat equation 1
13. Solvability of nonlinear heat equation 2
14. Solvability of nonlinear heat equation 3
15. Review of the above contents

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