解析学の対象とする関数は、数学の各分野のみならず理工学のあらゆる分野において自然に現れる。ルベーグ積分論では、対象とする関数のクラスを可測関数と呼ばれる非常に広いクラスに拡張し、それに対する積分の理論を構築する。多くの分野で解析的手法は有用であり、現代解析学の基盤としてのルベーグ積分の理論は大変重要である。「先端解析学」においては、このような数学における大きな分野のひとつである解析学の立脚点を習得することを目的に、その基盤となるルベーグ積分の理論について講義を行う。

・測度及び測度空間の概念を理解し、可測関数とその積分とは何かを説明できる。

・ルベーグの優収束定理・単調収束定理等の項別積分諸定理及びフビニの定理がどのようなものか説明できる。

・上記の話題に関する簡単な具体例について、計算や説明ができる。

第１回：σ加法族　　　　　　　　　集合の部分集合族のなすσ加法族の定義とそれを用いた可測空間の概念を理解する

第２回：測度　　　　　　　　　　　σ加法族に対する測度の概念と測度空間の概念を理解し、

　　　　　　　　　　　　　　　　　ユークリッド空間上のルベーグ測度の存在を知る

第４回：ルベーグ積分の定義　　　　　　　　測度空間上の可測関数に対するルベーグ式積分の定義を学ぶ

第６回：ルベーグ積分の性質          ルベーグ式積分の諸性質・「ほとんどいたるところ」の意味・

　　　　　　　　　　　　　　　 リーマン積分とルベーグ積分の関係を知る

第７回：収束定理　　　　　　　　　ルベーグの優収束定理・単調収束定理等の項別積分諸定理の内容を理解する

第８回：外測度　　　　　　　　　　外測度の概念を理解し、それを用いて定義されるカラテオドリ可測集合のなす集合族がσ加法族となることを知る

第９回：グループワーク２　　　　　　収束定理とその応用

第１０回：測度の拡張　　　　　　　ホップの拡張定理の内容とルベーグ測度の構成方法を知る

第１１回：ルベーグ測度の性質　　　ルベーグ測度の諸性質を知る

第１２回：直積測度　　　　　　　　直積測度の構成方法を知る

第１３回：フビニの定理　　　　　　直積測度空間におけるフビニの定理の内容を理解する

第１４回：グループワーク３　　　フビニの定理の具体的な応用例を計算する

第１５回：到達度評価