漸近理論

Asymptotic theory

994G826

46MAPRS501

小川　光紀

Mitsunori Ogawa

2026年度前期

2026年度

①First semester

集中講義

Intensive Course

工学研究科　情報工学専攻

Department of Information and Computer Technology, Graduate School of Engineering

2.0単位

講義

Lecture

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① [対面]対面授業/ [On-site] On-site class

数理統計学における漸近理論の基本的な概念を説明する．確率変数においては普通の数列と収束の概念が違う所から始める．確率収束と分布収束をまずは説明する．それに対応して最も基本的な「大数の法則」と「中心極限定理」を説明する．その発展である「デルタ法」を説明する．それらを駆使しながら，まずは簡単な推定量の漸近的性質を説明し，発展として最尤推定量の漸近的性質を説明する．その後に回帰モデルや検定における漸近的性質を説明する．最後に発展的な話題を扱う．

A basic asymptotic theory in mathematical statistics is introduced. First, the difference between the convergence of a sequence of numbers and that of random variables is explained, and then the convergences in probability and distribution are defined as new concepts. Next, the most fundamental theorems, the law of large numbers and the central limit theorem, are shown, and then the delta method is explained as a new technique. Using them, various asymptotic properties of estimators are shown, including the maximum likelihood estimator. Asymptotic properties of regression models and test statistics are also shown. Finally, advanced topics are illustrated.

統計科学においては，本当に様々な場所で漸近理論が必要になる．そのような時に対応できるための基礎知識を身につける．

In statistical science, as asymptotic theory is often used in many cases. We aim to acquire a basic knowledge of asymptotic theory.

漸近理論の基本を理解し，ある程度はデータ解析に応用できる技術を身につける．

We aim to understand a basic knowledge of asymptotic theory and then acquire how to apply it to real data analysis.

確率統計の基礎，および，微分積分と線形代数の基礎を理解していることを前提とする．

We need the basics of probability, statistics, calculus, and linear algebra.

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特に定めない

Not specified

レポートで評価する．

Evaluated by reports.

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

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It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
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○基本参考書
　A Course in Large Sample Theory, Thomas S. Ferguson, Chapman & Hall
　数理統計学の基礎，野田 一雄・宮岡 悦良，共立出版
　確率と統計，藤澤 洋徳，朝倉書店
○微分積分・線形代数・測度論を勉強するための参考書
　統計学のための数学入門30講，永田 靖，朝倉書店
　測度と確率，小谷眞一，岩波書店
　統計学への確率論，その先へ，清水泰隆，内田老鶴圃
○漸近理論の発展内容に関する参考書
　Asymptotic Statistics, A. W. Van Der Vaart, Cambridge University Press
　情報量規準，小西 貞則・北川 源四郎，朝倉書店

1 漸近理論とは何か
2 確率収束と大数の法則
3 分布収束と中心極限定理
4 スルツキーの定理とデルタ法
5 演習(1)
6 様々な推定量の漸近的性質
7 KLダイバージェンスと最尤推定量の一致性
8 最尤推定量の漸近正規性
9 多次元変数と多次元パラメータの扱い
10 演習(2)
11 回帰モデルにおける漸近的性質
12 様々な検定方法と漸近的性質(1)
13 様々な検定方法と漸近的性質(2)
14 発展的話題
15 演習(3)

1. What is Asymptotic Theory?
2. Convergence in Probability and Law of Large Numbers
3. Convergence in Distribution and Central Limit Theorem
4. Slutsky's Theorem and Delta Method
5. Exercise (1)
6. Various Estimators and Their Asymptotic Properties
7. KL Divergence and Consistency of Maximum Likelihood Estimator
8. Asymptotic Normality of Maximum Likelihood Estimator
9. How to Treat Multivariate Variables and Parameters
10. Exercise (2)
11. Asymptotic Properties in Regression Models
12. Various Tests and Their Asymptotic Properties (1)
13. Various Tests and Their Asymptotic Properties (2)
14. Advanced topic
15. Exercise (3)

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