複素解析Ａ

Complex Analysis A

9921A40

21MAANA205

辻　俊輔

Shunsuke Tsuji

2026年度前期

2026年度

①First semester

月曜6限

Monday 6th Period

理学部第二部　数学科

Department of Mathematics, Faculty of Science Division Ⅱ

2.0単位

講義

Lecture

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① [対面]対面授業/ [On-site] On-site class

複素解析学とは「複素関数論」のことであり，複素変数に関して複素微分可能な複素 (数値) 関数（正則関数という）の性質を論ずる理論である。実関数に対する微分積分学（解析的性質）を複素関数に拡張したものである。しかし、単に２変数から２変数への関数の微分積分学とは異なる様相である。具体的には、線積分における顕著な性質（Cauchyの積分定理）と正則関数の「滑らかさ」と解析接続の３つの性質は実関数では見られない性質である。複素解析学を学ぶことは、次の３つの意味がある。一つ目は、歴史的に数学の世界を広げるきっかけとなった複素解析学を学ぶことで数学の素養を高めることである。二つ目は、代数学、整数論、幾何学、解析学などの多くの基礎的な分野において複素解析がでてくる可能性があり、複素解析学を学ぶことで研究の基礎を作ることである。三つ目は、応用上でも、流体力学、電磁気学、熱伝導論、航空力学などの分野でも必要不可欠な知識となっている複素解析学を知識として使う準備をすることである。以上のような状況を踏まえて，本講義 (『複素解析 A』，『複素解析 B』) では，1 変数複素関数論の初歩について，複素数からはじめて，留数定理などの正則関数の性質学ぶ。

『複素解析A』 では、正則関数における重要な性質を解説する。まず、複素数の四則演算からはじめて、複素関数論で使うトポロジーの言葉、実多変数関数の性質の復習などをし、複素解析を学ぶ準備をする。複素解析の準備では他の授業で習う定義や定理の具体的な例や応用の意味合いもある。そのため他の科目の復習も必要になることを注意しておく。次に複素変数に関して複素微分可能な複素 (数値) 関数の具体例を確認する。続いて，線積分を定義し，複素解析学の基本定理である Cauchy の定理を証明する。さらに、正則関数における重要な性質をCauchyの公式を使って証明する。

１　複素微分可能性を Cauchy-Riemann の方程式により説明できるようになる。
２　具体的な複素関数の定義・性質について説明できるようになる。
３　線積分の計算方法を説明できるようになる。
４　Cauchy の積分定理とその重要な応用を説明できるようになる。

リンク先の [評価項目と科目の対応一覧]から確認できます（学部対象）。
履修登録の際に参照ください。
​You can check this from “Correspondence table between grading items and subjects” by following the link(for departments).
https://www.tus.ac.jp/fd/ict_tusrubric/​​​

『解析学１』、『解析学２』 を修得していること、あるいは 『解析学１』、『解析学２』 と同等の知識を有していることが必要である。また、積極的に問題練習をすることを望む。

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授業では、問題練習をして具体例に触れる時間を設ける予定である。問題練習を必ずしも授業中にしなくてよい。問題練習をする時間を、授業内容の反芻をする時間や以前の授業の復習の時間や質問の時間などにあててもよい。

到達度評価演習と授業の参加と判断できる演習により評価する。欠席の回数が4回以上で到達度評価演習の成績が著しく低い場合は「-」の評価とする。到達度評価演習にレポートが課される可能性もある。

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

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教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/​​​

It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
​​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/

講義の最初に説明する。

全ての授業を対面で受講することを求める。

第1回 ： 複素数と複素平面　
　　複素数の四則演算と性質，極形式について学ぶ。
　　[準備学習] 　これまでに学んだ複素数の四則演算について復習しておく。(1 時間)
　　[復習]　講義ノートを読み，授業内容を把握する。さらに授業で扱った問題を自分で解けるようにする。(2 時間)

第2回 ： 複素数列の収束
　　複素数列の収束の定義と性質について学ぶ。　
　　[準備学習]　前回の授業内容を、例題などの再確認により、定着させておく。(1 時間)
　　[復習]　講義ノートを読み，授業内容を把握する。さらに授業で扱った問題を自分で解けるようにする。(2 時間)

第3回 ： 複素関数で使われるトポロジーの言葉
　　複素平面上の閉集合，開集合，領域について学ぶ。
　　[準備学習]　前回の授業内容を、例題などの再確認により、定着させておく。(1 時間)
　　[復習]　講義ノートを読み，授業内容を把握する。さらに授業で扱った問題を自分で解けるようにする。(2 時間)

第4回 ： 複素関数の収束
　　複素関数の収束の定義と連続関数について学ぶ。
　　[準備学習]　前回の授業内容を、例題などの再確認により、定着させておく。(1 時間)
　　[復習]　講義ノートを読み，授業内容を把握する。さらに授業で扱った問題を自分で解けるようにする。(2 時間)
　　　
第5回 ： 連続関数と複素微分　
　　複素関数列の一様収束の定義と性質，複素関数の正則性について学ぶ。
　　[準備学習]　前回の授業内容を、例題などの再確認により、定着させておく。(1 時間)
　　[復習]　講義ノートを読み，授業内容を把握する。さらに授業で扱った問題を自分で解けるようにする。(2 時間)

第6回 ： 正則性と Cauchy-Riemann の方程式
　　複素関数の微分可能性と Cauchy-Riemann の方程式との関係について学ぶ。
　　[準備学習]　前回の授業内容を、例題などの再確認により、定着させておく。(1 時間)
　　[復習]　講義ノートを読み，授業内容を把握する。さらに授業で扱った問題を自分で解けるようにする。(2 時間)

第7回 ： 初等関数（１） 冪級数、指数関数，三角関数，双曲線関数
　　冪級数の定義と収束半径について学び、複素数の指数関数，三角関数，双曲線関数の定義と性質について学ぶ。
　　[準備学習]　前回の授業内容を、例題などの再確認により、定着させておく。(1 時間)
　　[復習]　講義ノートを読み，授業内容を把握する。さらに授業で扱った問題を自分で解けるようにする。(2 時間)

第8回 ： 初等関数（２） 冪乗根と対数関数
　　複素数の n 乗根と対数関数を定義について学ぶ。
　　[準備学習]　前回の授業内容を、例題などの再確認により、定着させておく。(1 時間)
　　[復習]　講義ノートを読み，授業内容を把握する。さらに授業で扱った問題を自分で解けるようにする。(2 時間)

第9回 ： 線積分の定義と計算
　　線積分を定義し，その性質について学ぶ。
　　[準備学習]　前回の授業内容を、例題などの再確認により、定着させておく。(1 時間)
　　[復習]　講義ノートを読み，授業内容を把握する。さらに授業で扱った問題を自分で解けるようにする。(2 時間)

第10回 ： 複素積分の定義と性質
　　複素線積分を定義し，その性質について学ぶ。
　　[準備学習]　前回の授業内容を、例題などの再確認により、定着させておく。(1 時間)
　　[復習]　講義ノートを読み，授業内容を把握する。さらに授業で扱った問題を自分で解けるようにする。(2 時間)

第11回 ： 線積分の幾何的な意味
　　線積分の計算公式について学ぶ。
　　[準備学習]　前回の授業内容を、例題などの再確認により、定着させておく。(1 時間)
　　[復習]　講義ノートを読み，授業内容を把握する。さらに授業で扱った問題を自分で解けるようにする。(2 時間)

第12回 ： Cauchy の定理
　　複素解析学において最も基本的な Cauchy の定理の証明とその系について学ぶ。
　　[準備学習]　前回の授業内容を、例題などの再確認により、定着させておく。(1 時間)
　　[復習]　講義ノートを読み，授業内容を把握する。さらに授業で扱った問題を自分で解けるようにする。(2 時間)

第13回 ： Cauchy の積分公式の応用
　　複素解析学において最も基本的な Cauchy の積分公式とその系について学ぶ。
　　[準備学習]　前回の授業内容を、例題などの再確認により、定着させておく。(1 時間)
　　[復習]　講義ノートを読み，授業内容を把握する。さらに授業で扱った問題を自分で解けるようにする。(2 時間)
　
第14回 ： Morera の定理，Liouville の定理
　　Morera の定理，Liouville の定理について学ぶ。
　　[準備学習]　前回の授業内容を、例題などの再確認により、定着させておく。(1 時間)
　　[復習]　講義ノートを読み，授業内容を把握する。さらに授業で扱った問題を自分で解けるようにする。(2 時間)
　　　　　　　　　　
第15回 ： 到達度評価と講評
　　前期の知識の習得を演習により確認する。
　　[準備学習]　第1 回〜第14 回の講義ノートを読み，内容を復習しておく。(2 時間)
　　[復習]　総復習により，前期の知識を確実に定着させておく。(2 時間)

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特になし

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