多様体の幾何Ａ

Geometry (4-A)

9921321

21MAGEO301

新田　泰文

Yasufumi Nitta

2026年度前期

2026年度

①First semester

火曜5限

5th period on Tuesday

理学部第二部　数学科

Department of Mathematics, Faculty of Science Division Ⅱ

2.0単位

講義

Lecture

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① [対面]対面授業/ [On-site] On-site class

現代幾何学においてもっとも基本的な対象の一つである多様体についての基礎を学ぶ。

多様体について基本的な定義と定理を修得する。
この科目は、本学科のディプロマ・ポリシーに定める「高等な現代数学に関する専門的知識」、「論理的思考力」及び「問題解決力」を養う科目の一つである。

（１）多様体の定義を正しく理解して、具体例を通して説明できるようになる。
（２）可微分写像及び可微分関数の定義と基本的性質を理解する。
（３）接ベクトル空間の定義及びアイデアを理解する。
（４）部分多様体の定義を理解し、与えられた多様体の部分集合が（正則）部分多様体となるかどうか判定できるようになる。
（５）ベクトル場及び積分曲線を常微分方程式と関連付けて理解する。
（６）１パラメーター変換群とそのベクトル場との対応について理解する。

リンク先の [評価項目と科目の対応一覧]から確認できます（学部対象）。
履修登録の際に参照ください。
​You can check this from “Correspondence table between grading items and subjects” by following the link(for departments).
https://www.tus.ac.jp/fd/ict_tusrubric/​​​

3~４年生が対象の科目であるが、幾何学を専門的に学ぶ学生は3年時に履修することを強く推奨する。
数学概論、代数学１、解析学１、及び解析学２の前期で学ぶ基本事項は既知として講義を進める。また、幾何学１Bと位相数学１A・１Bまたは位相数学研究A・Bを履修済みであることが望ましい。（必要な概念と事実は講義中に説明するが証明をする時間を取ることはできない）

課題に対する作文　Essay／小テストの実施　Quiz type test

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準備学習として、事前に講義資料をLETUSにアップするのでそれを読んでおくとよい。授業後は講義内容を復習し、講義中に提示する演習問題に取り組んで理解を深めること。

レポート及び到達度評価等を総合的に評価する。
出席は履修の前提であるため、欠席が多ければ単位を取得できなくなる場合がある。また、出席状況が成績に加点されることは無い。 

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

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教科書の指定はしないが講義資料を配布する。

教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/​​​

It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
​​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/

「多様体の基礎」・松本幸夫著・東京大学出版会・978-4130621038
「多様体入門」・松島与三著・裳華房・978-4785313173
「トゥー 多様体」・Loring W. Tu (著)、枡田幹也 (訳)、阿部拓 (訳)、堀口達也 (訳)・裳華房・978-4785315863
「Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups」・Frank W. Warner・Springer・978-1441928207

第１回　準備 1
　　　　位相空間の定義、色々な位相空間
第２回　準備 2
　　　　連続写像、Eucld 空間上の可微分写像、逆関数定理
第３回　可微分多様体の定義
　　　　可微分多様体の定義と例
第４回　可微分構造
　　　　実射影空間、可微分多様体の可微分構造
第５回　可微分写像と可微分関数
第６回　接ベクトル空間
　　　　接ベクトル空間の定義と次元
第７回　可微分写像と可微分関数の微分
第８回　逆関数定理を巡って
　　　　可微分写像の局所的な振る舞い、正則点と臨界点、正則値と臨界値
第９回　はめ込みと埋め込み、部分多様体 1
　　　　はめ込みと埋め込み、部分多様体、部分多様体への写像
第１０回　はめ込みと埋め込み、部分多様体 2
　　　　　正則部分多様体とその特徴付け、正則値定理、部分多様体の例
第１１回　色々な可微分関数
　　　　　位相空間のコンパクト性の復習、多様体上の色々な可微分関数
第１２回　ベクトル場
　　　　　ベクトル場と微分作用素
第１３回　積分曲線
　　　　　ベクトル場の積分曲線、ベクトル場の完備性
第１４回　1 パラメータ変換群
　　　　　1 パラメータ変換群とそのベクトル場との対応
第１５回　到達度評価
　　　　　全体のまとめと到達度評価

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授業計画及び授業方法は学生の理解度や講義の進捗状況に応じて適宜変更する。

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