代数学４Ｂ

Algebra (4-B)

9921317

21MAALG304

近藤　通朗

Michiro KONDO

2026年度後期

2026年度

②Second semester

火曜6限

Tuesday 18:10-19:40

理学部第二部　数学科

Department of Mathematics, Faculty of Science Division Ⅱ

2.0単位

講義

Lecture

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① [対面]対面授業/ [On-site] On-site class

代数学の標準的な内容である群・環・体を含むより一般的な代数系（普遍代数とよばれる）について，その基本的な性質を理解し，カテゴリー理論や数理論理学の入門とする．順序集合とその上の2項関係が重要となる．また具体例として，群や環における準同型定理が普遍代数の言葉で統一的に表現できることを学ぶ．

本講義の目的は大きく分けて以下のとおりである．
　
1. subdirectly irreducibleなどの抽象的概念の理解を目指す．

2. ブール代数のストーンによる表現定理など，様々な代数系の表現定理を統一的な手法で考察する．


この科目は，本学科のディプロマ・ポリシーに定める『理論的に思考する能力』を鍛え上げる科目のうちの一つである．

本科目を履修し，結果として到達が期待される知識レベルは以下の通りである．

1. 普遍代数における最も基本的な定理である，Birkhoffによる結果：「任意の代数はその代数のhomomorphic imageであるsubdirectly irreducibleな代数のsubdirect productと同型である」をきちんと理解することができる．

2. この定理の理解により，群における準同型定理やブール代数のストーンによる表現定理などが統一的な手法で得られることが理解できる．

リンク先の [評価項目と科目の対応一覧]から確認できます（学部対象）。
履修登録の際に参照ください。
​You can check this from “Correspondence table between grading items and subjects” by following the link(for departments).
https://www.tus.ac.jp/fd/ict_tusrubric/​​​

群・環・体などの代数系の基本的な性質を理解していることが必要です．そのため，これまでに学習した代数系の復習をきちんとしておくこと．

小テストの実施　Quiz type test／-

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抽象的な内容なので，授業前には各回のシラバスにある講義内容について，参考書は英文のため，単語の意味を調べるとともに参考書を1時間程度読んでおくこと．
また，授業後は参考書の練習問題を解き，次回の講義時に質問に答えられるように，1時間程度必ず復習をしておくこと．

本学科のディプロマ・ポリシーに定める「実力主義の伝統」，及び「自らの意見を表現するためのコミュニケーション能力を養う」に基づき，以下の点を重視する．

　1. レポートなどの模範解答を安易に配布することはしない．各自講義ノートを十分に復習し，必要に応じて図書館などで文献を参照するなどして積極的に学修すること．

　2. 教員への質問は，自分でどのように考えたかを明確にして，具体的な内容にすること．

2回のレポート（各50%の配点）で成績を評価する．

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

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教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/​​​

It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
​​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/

普遍代数に関する
http://www.math.hawaii.edu/~ralph/Classes/619/univ-algebra.pdf
を授業資料として、これについて解説します。

概ね，以下の項目に沿って進める予定です．（全15回）

1. 束（lattice）の定義
2. isomorphic lattices, sublattices
3. 様々な束の定義およびその基本的な性質（およそ２回分）
4. 同値関係，合同関係の定義およびその基本的な性質
5. 代数系における商集合の概念およびその性質
6. 中間期レポート
7. 普遍代数の定義
8. （準）同型写像，準同型定理
9. subdirect produc, subdirectly irreducible（およそ３回分）
10. varietyの定義およびその基本的な性質（およそ３回分）．ここで，最終的な目標であるBirkhoffの定理「任意の代数はその代数のhomomorphic imageであるsubdirectly irreducibleな代数のsubdirect productと同型である」を証明する．
11.到達度評価（レポート）

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なし

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