応用解析学特論A 旧：応用解析学特論1

Topics in Applied Analysis A

991JD04

14MAANA501

中村　健一

Ken-Ichi Nakamura

2026年度前期

2026年度

①First semester

水曜2限

Wednesday 2nd period

理学研究科　応用数学専攻

Department of Applied Mathematics, Graduate School of Science

2.0単位

講義

Lecture

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① [対面]対面授業/ [On-site] On-site class

さまざまな偏微分方程式の基本的な性質や解法について解説し、さらに応用についても述べる。具体的には、熱方程式（拡散方程式）、楕円型方程式などの重要な線形偏微分方程式について、その基本的な性質を体系的に解説する。また、最後の数回では非線形偏微分方程式の例として、反応拡散系の基礎的事項を解説する。
Basic properties and solutions of various partial differential equations are described and their applications are also described. Specifically, the fundamental properties of important linear partial differential equations, such as  heat equations (diffusion equations), elliptic equations, and wave equations, are explained systematically. In the last part of the lecture, basic matters of the reaction diffusion system are explained as an example of a nonlinear partial differential equation.

解の存在や性質などの基礎理論を中心に学習するが、より重要なのは、さまざまな方程式の解の性質についての感覚を養うことである。具体的な問題への応用を通して、その感覚を磨くことを目的とする。
You learn basic theories, such as the existence theorem of solutions, but more importantly, you develop a sense of the nature of the solutions of various equations. The goal is to develop that feeling through application to specific problems.

・熱方程式（拡散方程式）、楕円型方程式の基礎事項を習得し、解の性質を理解できる。
・反応拡散系の定常解の安定性やチューリング不安定性を理解し、実際の問題に適用できる。
・To study the fundamentals of heat equations (diffusion equations) and elliptic equations, and to understand the properties of their solutions.
・To understand the stability of stationary solutions of nonlinear parabolic equations and Turing instability in reaction-diffusion systems, and apply them to real problems.

すべての履修学生に対して半数回以上の対面受講を求める．

一様収束などの微積分法の基礎知識や、常微分方程式の基礎理論や変数分離法などの簡単な解法についての予備知識は必須である。また、フーリエ級数についても復習し、空間1次元熱方程式や空間1次元波動方程式に対する初期境界値問題をフーリエの方法で解けるようにしておくこと。さらに、ガウス・グリーンの定理などのベクトル解析の知識があれば、空間多次元の方程式を扱うのに便利であるので、可能な範囲で復習しておくことが望ましい。

Require all students to attend 50%-or-more-on-site classes.

Fundamental knowledge of calculus and ordinary differential equations is required. Students should also review Fourier's method to solve initial boundary value problems for 1D heat equations and wave equations. Furthermore, basic topics in vector analysis, such as Gauss-Green theorem, are useful in dealing with multi-dimensional equations, and should be reviewed.

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配布する資料に事前に目を通し、わからない部分は参考書や他の文献等で調べておくこと。
Students are expected to read through the distributed materials in advance, and look up any unfamiliar parts in reference books or other literature.

レポートにより評価を行う。
Evaluated by reports.

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

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教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/​​​

It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
​​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/

資料は適宜アップロードする。必要に応じて下記の参考書を参考にすること。
Materials will be uploaded as needed. Refer to the reference books listed below as necessary.

* Lawrence C. Evans「Partial Differential Equations」American Mathematical Society
* 柳田 英二「反応拡散方程式」東京大学出版会
* 二宮 広和「侵入・伝播と拡散方程式（シリーズ・現象を解明する数学）」共立出版
* 俣野　博・神保道夫「熱・波動と偏微分方程式」岩波書店

第1回： 簡単な偏微分方程式の導出例、用語の解説（線形、非線形、初期値問題、境界値問題など）
第2回： 変分問題と微分方程式【その1】（オイラー方程式）
第3回： 変分問題と微分方程式【その2】（制約条件つき変分問題）
第4回： 熱方程式（拡散方程式）【その1】（方程式の導出、 基本解）
第5回： 熱方程式（拡散方程式）【その2】（初期値問題・初期値境界値問題の解の表現）
第6回： 熱方程式（拡散方程式）【その3】（非斉次項を持つ熱方程式の解法）
第7回： 熱方程式（拡散方程式）【その4】（最大値原理）
第8回： 熱方程式（拡散方程式）【その5】（最大値原理の応用）
第9回： 楕円型方程式【その1】（ベクトル場のポテンシャル）
第10回： 楕円型方程式【その2】（基本解、ポアソン方程式）
第11回： 楕円型方程式【その3】（グリーン関数）
第12回： 反応拡散系【その1】（反応拡散系の例および分類）
第13回： 反応拡散系【その2】（定常解の安定性、チューリング不安定性）
第14回： 反応拡散系【その3】（比較定理、解の漸近挙動）
第15回：まとめ

1: Examples of derivation of simple partial differential equations, explanation of terminology (linear, nonlinear, initial value problems, boundary value problems, etc.)
2: Variational problems [Part 1] (Euler equation)
3: Variational problems [Part 2] (Variational problems with constraints)
4: Heat equation (diffusion equation) [Part 1] (derivation of equation, fundamental solution)
5: Heat equation (diffusion equation) [Part 2] (initial value problem and initial boundary value problem)
6: Heat equation (diffusion equation) [Part 3] (heat equation with source term)
7: Heat equation (diffusion equation) [Part 4] (maximum principle)
8: Heat equation (diffusion equation) [Part 5] (applications of maximaum principle)
9: Elliptic equations [Part 1] (potential of vector field)
10: Elliptic equations [Part 2] (fundamental solution, Poisson equation)
11: Elliptic equations [Part 3]  (Green's function)
12: Reaction-diffusion systems [Part 1] (examples and classification of reaction-diffusion systems)
13. Reaction-diffusion systems [Part 2] (Stability of stationary solutions, Turing instability)
14. Reaction-diffusion systems [part 3] (comparison theorem, asymptotic behavior of solutions)
15. Summary, Further topics

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週によってはオンデマンド教材を利用した講義を行なうことがあります。
In some weeks, lectures may use on-demand materials.

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