確率論講究1 （杉山）

Research in probability theory 1

991B801

11MAPTS501

杉山　裕介

Yuusuke Sugiyama

2026年度前期

2026年度

①First semester

木曜1限

Tue., 8:50-10:20 (Period 1)　

理学研究科　数学専攻

Department of Mathematics, Graduate School of Science

2.0単位

講義

Lecture

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① [対面]対面授業/ [On-site] On-site class

本講義は、ブラウン運動と確率積分（伊藤積分）を中心に、基礎的性質・構成・主要な結果（等距離性、伊藤の公式など）を学ぶ。受講生が担当範囲を発表し、全員で議論するゼミ形式で進める。定理の証明、例題、計算を通じて直観と技法を養い、必要に応じて測度論的確率の最小限を補足する。


This lecture focuses on Brownian motion and stochastic integration (Itô integral), covering fundamental properties, constructions, and key results such as the isometry and Itô’s formula. The course is conducted in a student-presentation, discussion-based format. Through proofs, examples, and calculations, participants develop intuition and techniques; minimal measure-theoretic probability is supplemented as needed.

ブラウン運動および確率積分の基礎理論を理解し，伊藤積分とその応用を自ら説明できるようになることを目的とする。学生が分担して発表し，討論を通して確率微分方程式の数学的直観を養う。  

The aim of this seminar is to understand the fundamental theory of Brownian motion and stochastic integration, with emphasis on the Itô integral and its applications. Students will present assigned sections and develop mathematical intuition through discussion.

1.    ブラウン運動の性質（マルコフ性・ガウス過程性・多次元拡張）を説明できる。
2.    伊藤積分の定義と主要な性質（線形性・等距離性・伊藤の公式）を述べられる。    

1.    Explain properties of Brownian motion such as the Markov and Gaussian process structure.
2.    Define the Itô integral and state its key properties, including linearity, isometry, and Itô’s formula.

確率論（学部レベル）および解析学の基礎を前提とする。測度論の基礎があると望ましい。


Basic knowledge of undergraduate probability theory and analysis is required; familiarity with measure theory is desirable.

ディベート・ディスカッション　Debate/Discussion

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各回の担当者は、指定箇所を事前に読み、内容を発表資料（手書きノート）としてまとめること。非発表者も該当箇所を読んで質問を準備する。  

Presenters must prepare notes summarizing the assigned section in advance. Non-presenters are expected to read the same section and prepare questions.

発表内容（理解度・説明の明確さ）60%、質疑応答・討論への参加40%。    

Grading is based on presentations (60%) and active participation in discussions (40%).

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

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成田清正『計算と例題で「なるほど」と分かる確率微分方程式』共立出版
Øksendal, Stochastic Differential Equations: An Introduction, Springer.
Karatzas & Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, Springer.        


Kiyomasa Narita, Understanding Stochastic Differential Equations through Calculations and Examples, Kyoritsu Shuppan (in Japanese).
Bernt Øksendal, Stochastic Differential Equations: An Introduction, Springer.
Ioannis Karatzas and Steven E. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, Springer.

第1回　ガイダンス：確率過程と確率積分の概要
第2回　ランダムウォークからブラウン運動へ／ブラウン運動の基本性質
第3回　ガウス過程としてのブラウン運動／マルコフ性
第4回　ドリフトをもつブラウン運動／オルンシュタイン＝ウーレンベック過程
第5回　多次元ブラウン運動／練習問題の発表・討論
第6回　確率積分の定義と直観的導入
第7回　階段過程に対する確率積分

第8回　被積分関数の広いクラスと伊藤積分の構成
第9回　伊藤過程の定義と2次変分
第10回　伊藤の公式と確率積分の微分公式
第11回　多次元の確率積分／マルチンゲール表示定理
第12回　伊藤過程の応用例の発表・討論
第13回　ブラウン運動と伊藤積分のまとめ
第14回　伊藤過程の応用：線形確率微分方程式と解の構成
第15回　総括    

Class 1 Guidance: overview of stochastic processes and stochastic integration
Class 2 From random walk to Brownian motion / basic properties of Brownian motion
Class 3 Brownian motion as a Gaussian process / Markov property
Class 4 Brownian motion with drift / Ornstein–Uhlenbeck process
Class 5 Multidimensional Brownian motion / presentation and discussion of exercises
Class 6 Definition of stochastic integrals and intuitive introduction
Class 7 Stochastic integrals for step processes
Class 8 Extension to general integrands and construction of the Itô integral
Class 9 Definition of Itô processes and quadratic variation
Class 10 Itô’s formula and differentiation rules for stochastic integrals
Class 11 Multidimensional stochastic integrals / martingale representation theorem
Class 12 Applications of Itô processes: student presentations and discussions
Class 13 Summary of Brownian motion and Itô integration
Class 14 Applications of Itô processes: linear stochastic differential equations and construction of solutions
Class 15 Summary and concluding remarks

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