代数学３

Algebra 3

9911G18

11MAALG401

吉川　祥

Sho Yoshikawa

2026年度前期

2026年度

①First semester

火曜3限

Tue 3

理学部第一部　数学科

Department of Mathematics, Faculty of Science Division Ⅰ

2.0単位

講義

Lecture

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① [対面]対面授業/ [On-site] On-site class

本年2026年は、フランスの誇る偉大な数学者Jean Pierre Serre氏（1926-）の生誕１００周年である。Serre氏は代数的トポロジー・代数幾何学・可換環論・代数的整数論・モジュラー形式等々、多岐にわたる分野において大きな貢献をしている（1954年にフィールズ賞受賞、2003年にアーベル賞を受賞）ほか、Corps Locaux（英訳：Local fields）、Cours d'arithmétique （邦訳：数論講義、岩波書店）、Représentations linéaires des groupes finis（邦訳：有限群の線型表現、岩波書店）など、名著を数多く生み出していることでも有名である。

本講義では、Serre氏による仕事の一つである所謂「Serre's open image theorem」を解説する。
定理の主張は大雑把には次のように述べられる：代数体上で定義された楕円曲線Eで虚数乗法を持たないものに対して、EのTate加群の定める２次元Galois表現の像は「大きい」。
Serre氏のMcGill大学での講義をもとにした著書
・Abelian ℓ-Adic Representations and Elliptic Curves（1967）
と、そのあとに出版された論文
・Propriétés galoisiennes des points d'ordre fini des courbes elliptiques（1972）
に沿って、どのようにして定理が証明されるのかを説明する。

Serre氏の研究における手法や哲学は現代の整数論の研究においても息づいている。
氏の著作のような基礎文献を通じて、代数的整数論や楕円曲線の理論が、どのように運用され、どのように絡み合っているかの一例を学ぼう。

(1) 代数体や局所体のGalois理論的側面（類体論、Galois表現）について、どのように使われるのかを理解する。
(2) 楕円曲線の基礎事項について理解する。
(3) 論文の証明を理解する。

リンク先の [評価項目と科目の対応一覧]から確認できます（学部対象）。
履修登録の際に参照ください。
​You can check this from “Correspondence table between grading items and subjects” by following the link(for departments).
https://www.tus.ac.jp/fd/ict_tusrubric/​​​

群、環、体など、代数学の基本事項を理解しておく必要がある。予備知識としてガロア理論は仮定する。代数的整数論や楕円曲線は予備知識として仮定しないが、すべて基礎から証明することはしない（適宜、参考文献を挙げる）。

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各回の授業ごとに復習を各々1, 2時間程度行うこと。

レポートによって評価する。授業中にレポート問題を提示する。

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

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J. -P. Serre, Propriétés galoisiennes des points d'ordre fini des courbes elliptiques. Invent Math 15, 259–331 (1971). https://doi.org/10.1007/BF01405086
J. -P. Serre, Abelian l-Adic Representations and Elliptic Curves (1st ed.). A K Peters/CRC. Press (1997). https://doi.org/10.1201/9781439863862

教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/​​​

It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
​​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/

必要に応じて紹介する。

この授業は対面授業であるので、半数以上出席しなくてはならない。出欠は取らないが、基本的には授業に必ず出席するのが望ましい。

各回の授業は以下のテーマ・キーワードに沿って行う。進行具合によって、多少前後することがある。
第１回：講義の概観と主定理の概説
第２回：代数的整数論とガロア理論１
第３回：代数的整数論とガロア理論２
第４回：ガロア表現の基礎事項
第５回：楕円曲線１
第６回：楕円曲線２
第７回：これまでのまとめ（予備）
第８回：ℓ進Lie群とLie代数
第９回：代数群S_mとアーベル整合系１
第１０回：代数群S_mとアーベル整合系２
第１１回：ℓ進表現の像
第１２回：GL_2(F_ℓ)の部分群
第１３回：法ℓガロア表現とadelic image１（本のIV-19と論文の解説）
第１４回：法ℓガロア表現とadelic image２（本のIV-19と論文の解説）
第１５回：open image theoremにまつわる最近の進展

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