位相数学１Ａ （金・５）

Topology 1A

9921442

21MAFUM201

酒井　祐貴子

Sakai, Yukiko

2026年度前期

2026年度

①First semester

金曜5限

5th period on Friday

理学部第二部　数学科

Department of Mathematics, Faculty of Science Division Ⅱ

2.00単位

講義

Lecture

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① [対面]対面授業/ [On-site] On-site class

本講義では，集合論に関する基本概念について解説する．集合論はあらゆる現代数学を記述するための道具として用いられる．今後，代数系・幾何系・解析系のどの分野の専門科目を履修する上でも必要となる科目であるため，その基礎をしっかり習得しておくことが肝要である．

集合論は，その性格上抽象的な議論が多くなる傾向があるが，なるべく具体例を多く取り上げて解説する予定である．

基本的に対面授業で行うが，必要に応じてオンライン授業になる場合がある．その場合は事前に周知する．

本講義の目的は大きく分けて以下の３つである．
　
1. 集合や写像の定義と基本的な性質を習得すること．
2. 集合上の同値関係と商集合の概念を理解すること．
3. 集合の濃度の概念を理解すること．

また，この科目は，本学科のディプロマ・ポリシーに定める『理論的に思考する能力』を鍛え上げる科目のうちの一つである．

本科目を履修し，結果として到達が期待される知識レベルは以下の通りである．

1. 集合の相等及び，演算（和，共通部分など）をしっかりと理解し，与えられた集合が等しいかどうかを判別できる．
2. 写像の全射性，単射性をしっかり理解し，与えられた写像の全射性，単射性について判別できる．
3. 集合上の同値関係に対して完全代表系を求めることが出来，商集合上の写像のwell-defined性について正しく論じることが出来る．
4. 集合の濃度を理解し，可算集合と非可算集合の区別が付けられるようになる．

リンク先の [評価項目と科目の対応一覧]から確認できます（学部対象）。
履修登録の際に参照ください。
​You can check this from “Correspondence table between grading items and subjects” by following the link(for departments).
https://www.tus.ac.jp/fd/ict_tusrubric/​​​

数学概論で学修した内容の，集合に関連する事項を良く復習しておくこと．

課題に対する作文　Essay／小テストの実施　Quiz type test

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各回の講義内容（特に具体例に関する部分）を十分に復習すること．また，自分で新しい例を構成し，それに新しく学んだ概念等を適用できるようにしておくこと．講義の前半では数回程度LETUSの小テスト機能を利用した課題を課す．解答は翌週の講義までにLETUS上に掲載する．また，講義が半分ほど進んだところでレポートを課す（締め切りは課題掲出の約1か月後に設定予定）．レポートについては最後の授業で簡単なフィードバックを行う．


本学科のディプロマ・ポリシーに定める「実力主義の伝統」，及び「自らの意見を表現するためのコミュニケーション能力を養う」に基づき，以下の点を重視する．

　1. レポートなどの模範解答を安易に配布することはしない．各自講義ノートを十分に復習し，必要に応じて図書館などで文献を参照するなどして積極的に学修すること．

　2. 教員に質問する場合は，必ず自分の考えを述べること．家庭教師的に一から十まで解説することはしない．

主に定期試験と中間レポートにより評価する．およそ，試験60％，レポート30％，平常点10％（小テスト、課題提出等）とする．中間レポートを提出しない者，試験を受けない者は単位を放棄したものとみなす．小テストやレポートの略解はLETUSに掲載する．出席は履修の前提であるため、欠席が多ければ単位を取得できなくなる場合がある．また、出席状況で加点されることもない．

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

N

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教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/​​​

It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
​​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/

教科書は特に指定しませんが，主に以下のテキストをもとに授業を行います．

　1. 『集合と位相空間』森田茂之著（朝倉書店）2002年発行，ISBN:978-4254115888
　2. 内田伏一著『集合と位相』（裳華房）2020年発行，ISBN:978-4785314125

これらのテキストは，理論的なことがしっかりと，かつコンパクトにまとめられているので，意欲的な学生には丁度良いですが，不慣れな初学者の自習書としては少し程度が高いかもしれません．少し言い回しは難しい表現を用いていますが，解説が丁寧なテキストとして，他にも

　3. 松坂和夫著『集合・位相入門』（岩波書店）1968年発行，ISBN:978-4000054249

などがあります．

概ね，以下の順序に従って解説する予定である．

1 　集合の定義
　　　（基本的な演算を理解する．）　　　　　　　
2 　ド・モルガンの法則
　　　（集合の演算と補集合の関係を理解する．）
3 　写像の定義
　　　（集合の演算と写像の関係を理解する．）　 　　　　　　
4 　全射と単射，及び直積
　　　（写像の全射性，単射性を復習し，集合の演算と直積を理解する．）
5 　選択公理
　　　（選択公理を理解し，具体例として，無限直積の集合からの射影の全射性に適用する．）
6　 同値関係
　　　（集合上の同値関係を定義し，具体例についていくつか考察する．）
7 商集合
　　　（商集合の概念を理解し，具体例についていくつか考察する．）
8 濃度
　　　（集合の濃度を定義し，具体例についていくつか考察する．）
9 濃度の比較
　　　（ベルンシュタインの定理を理解する．）
10 可算と非可算
　　　（可算集合の例や，実数全体の集合が非可算であることを理解する．）
11 順序集合
　　　（集合の順序について理解し，濃度では区別できなかった集合を区別する．）
12 整列集合
　　　（整列集合を定義し，超限帰納法について理解する．）
15　Zornの補題
　　　（Zornの補題を理解する．）
14 実数の構成
　　　（これまでに学習した内容を総動員して，有理数体から実数体を構成する．）
15 到達度評価

特になし

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特になし．

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