代数学２

Algebra 230

9961116

61MAALG303

植木　潤

Jun Ueki

2026年度後期

2026年度

②Second semester

火曜2限

Tuesday, 2nd Period

創域理工学部　数理科学科

Department of Mathematics, Faculty of Science and Technology

2.00単位

講義

Lecture

-

① [対面]対面授業/ [On-site] On-site class

体論、特にガロア理論の講義
Lecture on Theory of Fields, especially on Galois Theory.

体とその拡大の理論の基礎を学ぶ。主題は、代数方程式 (多項式) の根を全て付加した拡大体の構造を、その拡大体の自己同型群（ガロア群）によって記述するガロア理論である。ガロア群と拡大体の中間体の間の対応を定める基本定理（ガロア対応）とその証明の理解を主要な目的とする。講義の最後に、ガロア理論が現代数学における基礎理論としてどのように活躍しているかを見る。

To learn basic theory of fields and their extensions, especially Galois Theory which describes structure of a field extension obtained by adjoining roots of an algebraic equation via the group (so called the "Galois Group") of automorphisms of the extension.
To understand the main goal ("Galois correspondence"), a fundamental theorem and its proof, which settles a correspondence between intermediate fields of an extension and subgroups of the Galois group.
To see how Galois theory plays a fundamental and essential role in modern mathematics.

体とその拡大、とりわけ多項式の根を付加した拡大についてよく理解すること (ベクトル空間としての構造、多項式環の剰余環としての実現など)。正規拡大、分離拡大 (特に正標数の体の場合) の意味を理解すること。ガロア拡大とガロア群の定義を理解し、本講義の主要目的の一つであるガロア対応を習得すること。目標は次数の低い多項式 (あるいはガロア拡大) に対し、そのガロア群や、ガロア対応により定まる部分体等を具体的に計算できるようになることである。また、多項式の可解性とガロア群の構造の関係について、その仕組みを理解すること。現代数学においてガロア理論がどのように発展しているかを知ること。

Being a person who has the following knowledge on theory of fields: basic facts on fields and their extensions, especially extensions obtained by adjoining roots of polynomials (such as structure of vector spaces, realization as quotient rings of polynomial rings); notions of normal extensions and separable extensions (especially in positive characteristic); definitions of Galois extensions and Galois groups; main fundamental theorem of Galois correspondence.
Being a person who can calculate Galois groups when the degree of polynomials are low, and can find intermediate fields by using the fundamental theorem.
Being a person who knows how Galois theory is developed in modern world of mathematics.

リンク先の [評価項目と科目の対応一覧]から確認できます（学部対象）。
履修登録の際に参照ください。
​You can check this from “Correspondence table between grading items and subjects” by following the link(for departments).
https://www.tus.ac.jp/fd/ict_tusrubric/​​​

「代数学１A」 及び 「代数学１B」 を履修中であるか、履修済みであることが望ましい。
"Algebra 1A" and "Algebra 1B" are prerequisites.

-

「協同の学び」を援用する．授業中の活動について特段の組織化は行わないが，周りの学友たちとのコミュニケーションを推奨し，それに基づいた課題解決を通じて，主題の深い習得を狙っていく．他者との関係性を活用して理解を深めた上で，最終的には各人の言葉で改めて答案を記述のこと．

各回の授業前に２時間、授業後に２時間を目安として準備学習と復習を行うこと。その範囲は各回ごとに指示する。
Two hours for preparation and two hours for reviewing before and after class are expected. Subjects will be indicated each time in lecture.

前提となる線形代数・群論・環論などの基本事項の復習や履修を，各自の責任で並行して行ってください．
また，体論の基礎的な事柄についても，授業中に証明を詳しく追うことは必ずしもしないので，各自で講義ノートや文献を読み込むことで，さらなる理解に努めてください．
理論を体得するには，各自で演習を積むことが不可欠です．授業中に演習課題を提示しますが，それに限らず，色々な具体例について，手を動かして調べてみることを奨めます．
授業前後や演習時間にも質問を受け付けますので，ご活用ください．

授業に臨む積極的態度と、必要に応じ出題されるレポート課題や筆記試験による授業内容の理解度の確認を前提として、到達度評価試験で評価する。
The final exam is evaluated based on the positivity of class participation and on checking the level of understanding through a mid-term test or report, as necessary.

実際のところ，到達度評価試験が満点であれば満点とし，そうでない場合は各種提出課題や演習発表などの点数を適当な関数で上乗せして素点を決める．以下は参考例である．

・試験 ≧ 60 のとき, 素点 = 試験 ＋(その他)*0.5
・試験 <60 かつ 試験 ＋(その他) ≧ 60 のとき, 素点 = 60 + (試験 ＋(その他))*0.5
・それ以外のとき, 素点 = 試験 ＋(その他)
ここに (その他) := レポート課題・発表・授業参加 の総和 とする．

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

N

-

教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/​​​

It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
​​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/

Galois理論を扱っている教科書は数多くあるので、実際に目を通してみて、自分に合った文献を見つけることを推奨します（現在の予備知識や、大学院での研究で使いたいか、など）。例えば以下のものがあります。

「体とガロア理論」 藤崎源次郎 岩波書店 1997年 ISBN978-4000078139
「代数学〈3〉体とガロア理論 (大学数学の入門)」 桂利行 東京大学出版会 2005年 ISBN978-4130629539
「ガロア理論 (数学のかんどころ 14)」 木村俊一 共立出版 2012年 ISBN978-4320019942
「代数方程式とガロア理論」 中島匠一 共立出版 2006年 ISBN978-4320016965
「代数学2　環と体とガロア理論」 雪江明彦 日本評論社 2010年 ISBN978-4535786608
「代数学入門　群・環・体の基礎とガロワ理論」永井保成  森北出版 ISBN978-4-627-08341-7

また、授業内容をまとめたものをLETUSで配布します。

1. 導入，体の拡大・中間体・最小多項式
2. 拡大次数，拡大の同型
3. 代数拡大，分解体
4. 体の同型の延長定理，代数閉体
5. 分離拡大と非分離拡大
6. Galois拡大, 部分群と固定体
7. Galois対応, 計算例1
8. 計算例2, 代数的整数論, 円分体
9. トレースとノルム, 有限体とその乗法群
10. 巡回Kummer理論
11. 方程式の冪根による解法
12. 2次〜4次方程式の解の公式
13. 定規とコンパスでの作図，折り紙での作図
14. 到達度評価試験（授業内試験）
15. 答案返却・解説, ガロアコホモロジー

-

-

-

上記は大まかな目安であり、講義の進捗状況や受講者の理解度により各回の内容は変更または割愛することがある。
Some topics in the Class plan could be omitted or changed depending on participants' understanding.

ガロワ理論はたいへん素晴らしいものなので，是非多くの人に理解して貰いたいです．沢山の定理たちが互いに支え合って大きな構造を作っている様子を，手に負える具体例を通じてよく味わえば，深い滋養が得られることと思います．たんに決められた手順を再現するスキルを身に着けようとするだけでは，理論の全貌は見えてきません．定義や定理や基本的な議論を何度も反芻し，独自の具体例を考え，他者との議論や自己内議論を積極的に行い，自身の納得感を大切にし，ときにはゆっくり休んで，自身の中に数学をしっかり育てていってください．

N

N