数理物理学特論1

Selected Topics inMathematical Physics 1

991CS11

12MATHP501

堺　和光

Kazumitsu SAKAI

2026年度後期

2026年度

②Second semester

金曜3限

Friday 3rd  Period

理学研究科　物理学専攻

Department of Physics, Graduate School of Science

1.00単位

講義

Lecture

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⑧ [遠隔]オンライン授業（非同期）/ [Remote]Online (asynchronized remote)

臨界現象において、系は臨界点で「共形不変性」を持つことが知られている。この「共形不変性」を有する場の理論が共形場理論である。特に，時空が２次元の場合、共形変換の生成子はヴィラソロ代数とよばれる無限次元のリー環を形成し、この無限次元の対称性によって臨界現象が系統的に分類される。この２次元共形場理論は、臨界現象や弦理論など物理的応用の他、表現論等の数学にも大きな影響を与える。本講義では、２次元共形場理論理論の基礎、特に対称性と保存量に関する基礎的事項を解説する。

In critical phenomena, it is well known that a system at the critical point exhibits conformal invariance. A field theory with this symmetry is called a conformal field theory (CFT). In particular, in two-dimensional spacetime, the generators of conformal transformations form an infinite-dimensional Lie algebra known as the Virasoro algebra, and this infinite-dimensional symmetry enables a systematic classification of critical phenomena. Two-dimensional conformal field theory has had a major impact not only on physical applications such as critical phenomena and string theory, but also on mathematics, including representation theory.

In this lecture, I will explain the foundations of two-dimensional conformal field theory, with particular emphasis on basic aspects of symmetries and conserved quantities.

２次元共形場理論理論の基礎、特に対称性と保存量に関する基礎的事項を習得する。

・共形不変性とは何かが説明できる。
・対称性と保存量および必要事項が理解できている。

On completion of the course, participants will be able to:

• explain what conformal invariance is;

• understand the relationship between symmetries and conserved quantities, together with the necessary foundational concepts.

数理物理学特論２を引き続き履修することが望ましい。

It is desirable that students continue on to Selected Topics in Mathematical Physics 2.

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講義で行った論理の展開や計算を再現できるようにする。演習問題や復習問題を豊富に用意している。授業後にそれを解いて復習することにより理解を深める。

Participants are expected to be able to reproduce the logical development and calculations presented in the lecture. A rich set of exercises and review problems will be provided. By working through them after each lecture, participants will deepen their understanding.

授業中に出される演習問題を解いたものをレポートとして提出させ、その出来により評価する。

Students will be evaluated based on reports consisting of solutions to exercises assigned during the lectures.

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

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1.Infinite conformal symmetry in two-dimensional quantum field theory: A.A Belavin, A. M. Polyakov, A. B. Zamolodchikov, Nuclear Physics B 241 (2): 333-380.
2.Conformal field theory, Di Francesco, Mathieu, Sénéchal,, Springer
3.　江口徹，菅原祐二：「共形場理論」, 岩波書店
4.　共形場理論、伊藤克司、サイエンス社
5.　山田泰彦：「共形場理論」，培風館
6.　川上則夫，梁成吉：「共形場理論と１次元量子系」，岩波書店

第１回：序論
第２回：共形変換１
第３回：共形変換２
第４回：対称性と保存量１
第５回：対称性と保存量２
第６回：プライマリー場とエネルギー・運動量テンソル
第７回：共形Ward-Takahashi恒等式
第８回：演算子積展開


1. Introduction
2. Conformal transformation 1
3. Conformal transformation 2
4. Symmetries and conserved quantities 1
5. Symmetries and conserved quantities 2
6. Primary fields and energy momentum tensors
7. Conformal Ward-Takahashi identities
8. Operator product expansions

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