代数学特論２Ａ

代数学特論２Ａ

992B353

野村　次郎

Jiro Nomura

2026年度前期

2026年度

①First semester

集中講義

Intensive lecture

理学専攻科　数学専攻

Department of Mathematics, Special Training Course for Teachers

2.00単位

講義

Lecture

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① [対面]対面授業/ [On-site] On-site class

整数論，特に初等整数論は最も歴史が古い数学のうちの一つであり，古来から実に多くの研究がなされてきた．特に，それらのうちのいくつかは現代数学の最先端を彩るような高度な理論に昇華されている．本講義では，現代の数論の礎となった古典的な初等整数論にスポットをあて，いくつかのトピックスについて解説する．

初等整数論の多くの問題は，それ自身は中高生でも理解できるものが少なくなく，むしろ興味を引くようなものも多い．従って，このような科目を履修することは，教員を目指す学生にとっても知識の幅を広げ，数学的教養をより深める上でも有益である．

一般に，初等整数論における種々の問題は難易度や複雑さの上から鑑みても非常に繊細である．講義では，なるべく平易な具体例を多く取り上げて解説する予定である．

本講義の目的は大きく分けて以下の4つである．
　
1. ユークリッドの互除法を理解する．

2. フェルマーの小定理，及びオイラー函数の性質を理解する．

3. 原始根の定義と存在を理解する．

4. 平方剰余の相互法則を理解する．

本科目を履修し，結果として到達が期待される知識レベルは以下の通りである．

1. ユークリッドの互除法を用いて一次不定方程式が解けるようになる．また，最大公約数を計算できるようになる．

2. フェルマーの小定理や，オイラー函数を，初等整数論の種々の問題に適用・応用できるようになる．

3. 具体的な素数pに対して，法pについての原始根を計算できるようになる．

4. 平方剰余の相互法則を用いて，与えられた素数が平方剰余か非剰余であるかを判定できるようになる．

リンク先の [評価項目と科目の対応一覧]から確認できます（学部対象）。
履修登録の際に参照ください。
​You can check this from “Correspondence table between grading items and subjects” by following the link(for departments).
https://www.tus.ac.jp/fd/ict_tusrubric/​​​

学部で学んだ群論、環論、体論の内容をよく復習することが望まれる．

課題に対する作文　Essay／-

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各回の講義内容（特に具体例に関する部分）を十分に復習すること．また，自分で新しい例を構成し，それに新しく学んだ概念等を適用できるようにしておくこと．各自講義ノートを十分に復習し，必要に応じて図書館などで文献を参照するなどして積極的に学修すること．

原則としてレポートにより評価する．

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

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教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/​​​

It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
​​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/

(1)『数論入門』北村泰一著，槇書店，
(2)『初等整数論』H.スターク著，芹沢正三，安藤四郎共訳，現代数学社,
(3)『整数論』ヴィノグラードフ著，三瓶 与右衛門訳，共立出版．

概ね，以下の項目に沿って解説する予定である．

1 　　初等整数論 vs 代数的整数論
　　　（フェルマーの最終定理などを題材にして，現代の代数的整数論の発展の歴史を概観し，初等整数論の立場や意義を確認する．）
2 　　有理整数の整除
　　　（有理整数環において割り算ができるとはどういうことかを厳密に定義し，整数の整除関係について理解する．）
3 　　ユークリッドの互除法
　　　（ユークリッドの互除法のアルゴリズムについて理解する．）
4 　　一次不定方程式の解法
　　　（互除法を用いて一次不定方程式の解法を理解し，具体的に解けるようになる．）
5 　　素数の性質
　　　（有理整数環において素因数分解が存在して「一意的」であることを理解する．）
6 　　合同式
　　　（合同式の定義と簡単な性質について理解する．）
7 　　フェルマーの小定理，ウィルソンの定理
　　　（各定理の証明を理解する．）
8 　　オイラー函数
　　　（オイラー函数の性質について理解し，具体的に計算できるようになる．）
9 　　原始根 その1
　　　（原始根の定義と存在について理解し，具体的な素数に対してそれを法とする原始根を計算する．）
10　　原始根 その2
　　　（原始根を用いて合同方程式を解くことを考える．）
11　　平方剰余
　　　（平方剰余記号を導入し，第1, 第2補充則について理解する．）
12　　平方剰余の相互法則
　　　（相互法則の証明を理解し，具体的に計算に適用できるようになる．）
13　　x^2 + y^2 なる形の素数
　　　（題意の素数がどのようなものかを完全に決定する．）
14　　x^2 + 2 y^2 なる形の素数
　　　（題意の素数がどのようなものかを完全に決定する．）
15 到達度評価及び解説

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