数値計算法

Numerical Analysis30

9962110

62MAISS301

平井　正紀

Hirai Masanori

2026年度後期

2026年度

②Second semester

月曜2限

Monday, 2nd

創域理工学部　先端物理学科

Department of Physics and Astronomy, Faculty of Science and Technology

2.00単位

講義

Lecture

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① [対面]対面授業/ [On-site] On-site class

数学や物理学の問題をコンピュータを利用して数値的に解く方法を学ぶ。

複雑な条件下で物理公式を応用するには、コンピュータによる数値計算が必要となる。そこで、数値計算が持つ固有の誤差、反復計算における数値結果の収束性、解の安定性に関する概念を修得して，数値計算法の基礎を理解する。

本科目は、学科の定める下記のディプロマ・ポリシーの達成することを目的とする。
第2項「物理法則を確実に理解するとともに体系的な専門知識を備え、自分自身の力でさらなる真理の追究や応用研究ができる。」
第5項「論理的・批判的な思考によってデータと情報の信頼性を判断し、整理・分析して問題解決に貢献するる。」
第6項「修得した専門知識や教養をもとに、個々の専門分野におけるキャリア形成のために必要な知識・技能を自ら学び 続けていく自己管理能力。」

基本的な方程式の実数解、微分方程式、定積分、行列計算などの数値解法が理解できる。
また、作成したプログラムの数値計算結果を検証、評価ができる。

リンク先の [評価項目と科目の対応一覧]から確認できます（学部対象）。
履修登録の際に参照ください。
​You can check this from “Correspondence table between grading items and subjects” by following the link(for departments).
https://www.tus.ac.jp/fd/ict_tusrubric/​​​

FortranまたはＣ++によるプログラミングができる学生を対象とする。
また、レポート作成にあたりワープロソフト、グラフソフトが使えることが望ましい。

課題に対する作文　Essay

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各回の講義内容に必要な事項を、一時間程度予習、復習しておくこと。
ただし、プログラムの作成等は復習を兼ね各自で行う事となる。

レポート（プログラムの作成、計算精度の検証、及び計算結果の考察）をすべて提出していることを前提として総合的に評価する。

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

N

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教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/​​​

It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
​​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/

Numerical Recipes (3rd edition), Press, William H 他著、Cambridge University Press

＊授業スライド(PDFファイル)は授業資料としてLETUSにて公開する

01　計算機における数値の表現
　　　整数型、実数型、及び単(倍)精度について理解する
　　　2進数での数値の表記と10進法への対応を理解する
　　　(復習）2進法と10進法間の値の変換
　　　　　　 単精度、倍精度での数値表現の上(下)限を確認する

02　有効数字と計算精度
　　　丸め誤差、桁落ち、情報落ちなどの数値計算での誤差原因について理解する
　　　(準備学習）四則演算後の有効数字の桁数の確認
　　　(復習）反復計算における誤差の累積について理解する

03　ニュートン法による非線形方程式の数値解法　I
　　　反復計算による方程式の近似解を求める方法を理解する
　　　初期値による収束性の問題、収束判定による近似解の精度について理解する
　　　(準備学習）求根法として二分法について調べておく

04　ニュートン法による非線形方程式の数値解法　II
　　　反復法による数値解の収束性について理解する
　　　(復習）反復法での収束速度、収束条件について復習する

05　数値の誤差の伝播と収束性
　　　計算過程における誤差伝播の性質について理解する
　　　数列の収束性と反復計算での数値解の収束性との関係を理解する
　　　(復習）数列の加速法について理解する

06　数値微分
　　　差分法における打ち切りと丸め誤差の計算精度への影響を理解する
　　　(準備学習）テーラー展開を用いた差分法による数値微分の公式の確認
　　　(復習）数値微分における計算精度の限界を理解する

07　常微分方程式
　　　オイラー法、ルンゲ・クッタ法を用いた微分方程式の解法を理解する
　　　(復習）オイラー法の問題点を理解し、精度向上への修正方法を理解する

08　微分方程式の解の安定性
　　　陽的解法と陰的解法にそれぞれについて数値解の安定性について理解する
　　　(準備学習）微分方程式の数値解法における前進差分と後進差分の確認

09　偏微分方程式
　　　ポアソン方程式、拡散方程式の数値解の安定性を理解する
　　　(復習)　解の安定性解析について理解する

10　補間と補外 (内挿と外挿)
　　　離散点間の多項式近似、ラグランジェ補間につてい理解する
　　　リチャードソン補外について理解する

11　数値積分
　　　ニュートン・コーツ型及びロンバーグ積分法を理解する
　　　無限区間積分の数値解法における積分範囲と解の収束性を理解する
　　　(準備学習）等分割による中点則、台形則の求積法の確認
　　　(復習）台形則からのロンバーグ積分法を理解する

12　数値積分
　　　直交多項式を利用する非等間隔分割によるガウス型求積法を理解する
　　　(復習）ニュートン・コーツ型とガウス型求積法のそれぞれの性質を理解する

13　連立一次方程式の解法
　　　ガウスの消去法を用いた逆行列の数値解法による問題点を理解する
　　　LU分解とその応用について理解する
　　　(準備学習）掃き出し法による逆行列の計算手順を確認しておく

14　固有値問題の数値解法
　　　数値計算における固有値問題の解法のための各手法を理解する
　　　(準備学習）固有値問題の数学的基礎事項を確認
　　　　　　　　 ２成分の回転変換と対称行列のヤコビ変換について調べておく
　　　(復習）対称行列の三重対角化、QR法、ベキ乗法などの解法を理解する

15　データからのモデル推定

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プログラム統合開発環境 Visual Studio (code), 及びプログラム言語に対応するコンパイラー

授業内容の理解には、プログラムの作成・実行が必須となる。所有のPCにプログラム開発環境を準備し、プログラムの作成・実行の作業が出来ることが望ましい

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