代数学３

Algebra 330

9961306

61MAALG304

植木　潤

Jun Ueki

2026年度後期

2026年度

②Second semester

火曜3限

Tuesday, 2nd Period

創域理工学部　数理科学科

Department of Mathematics, Faculty of Science and Technology

2.00単位

講義

Lecture

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① [対面]対面授業/ [On-site] On-site class

環上の加群の理論について学ぶ。

１,２年生で学んだベクトル空間を一般化した概念であり、代数学のみでなく幾何学、解析学においても利用される重要な概念である、環上の加群についての基礎知識と基本的手法を習得する。

本学科のディプロマポリシーに定める、「数学における基礎学力と、その上に立つ専門知識」と、「修得した専門知識や教養をもとに、自ら課題を発見し、解決する能力」を主に身につける科目である。
本学科のカリキュラムポリシーに定める、代数の専門的能力を養うための「専門科目」の講義であり、「専門知識を深化させ、併せて他の授業科目との関連や学問探求の方法を学び、問題発見・解決能力の育成を図る」ための科目である。

ベクトル空間の一般化である「環上の加群」について，有限生成性，直和と自由加群，完全系列，単因子論と構造定理，テンソル積，局所化，射影加群といった基本的な概念の定義・性質・具体例・計算技術に習熟すること．有限群の表現論の基本的な概念を理解して指標の計算ができるようになること．可換環上のNoether加群の定義と基本的な諸性質を理解して説明できるようになること．

リンク先の [評価項目と科目の対応一覧]から確認できます（学部対象）。
履修登録の際に参照ください。
​You can check this from “Correspondence table between grading items and subjects” by following the link(for departments).
https://www.tus.ac.jp/fd/ict_tusrubric/​​​

群論と環論の初歩を修得済みの学生を対象とする．

プレゼンテーション　Presentation

「協同の学び」を援用する．授業中の活動について特段の組織化は行わないが，周りの学友たちとのコミュニケーションを推奨し，それに基づいた課題解決を通じて，主題の深い習得を狙っていく．他者との関係性を活用して理解を深めた上で，最終的には各人の言葉で改めて答案を記述のこと．

各回ごとに授業中に指示するが、授業内容を十分復習し、次回の授業予定範囲で必要となる予備知識などを確認しておくこと。時間の目安は復習に２時間、準備学習に２時間である。

前提となる線形代数・群論・環論などの基本事項を，各自の責任で並行して復習・履修してください．
理論を体得するには，各自で演習を積むことが不可欠です．授業中に演習課題を提示しますが，それに限らず，色々な具体例について，手を動かして調べてみることを奨めます．
授業前後や演習時間にも質問を受け付けますので，ご活用ください．

授業に臨む積極的態度と、必要に応じ出題されるレポート課題や筆記試験による授業内容の理解度の確認を前提として、到達度評価試験で評価する。
The final exam is evaluated, on the premise of positiveness of class participation and checking of understanding level by mid-term test or report depending on the necessity.

実際のところ，到達度評価試験が満点であれば満点とし，そうでない場合は各種提出課題や演習発表などの点数を適当な関数で上乗せして素点を決める．以下は参考例である．

・試験 ≧ 60 のとき, 素点 = 試験 ＋(その他)*0.5
・試験 <60 かつ 試験 ＋(その他) ≧ 60 のとき, 素点 = 60 + (試験 ＋ (その他) − 60)*0.5
・それ以外のとき, 素点 = 試験 ＋(その他)
ここに (その他) := レポート課題・発表・授業参加 の総和 とする．

また試験の点数は誤答分析レポートを加味して最終決定する．

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

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教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/​​​

It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
​​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/

「代数入門 -群と加群-」堀田良之（裳華房）ISBN 978-4-7853-1413-2
「代数学II　環上の加群」桂利行（東京大学出版会）ISBN 978-4-13-062952-2
「代数学2　環と体とガロア理論（第２版）」雪江明彦（日本評論社） ISBN 978-4535786608
「代数学入門　群・環・体の基礎とガロワ理論」永井保成  森北出版 ISBN978-4-627-08341-7

「代数概論」森田康夫（裳華房）
「代数学入門」石田信（実教出版）
「代数学」津村博文（数学書房）

第１回　環上の加群の定義と例，準同型定理
第２回　直和と自由加群
第３回　完全系列と可換図式
第４回　単因子論
第５回　有限生成アーベル群の基本定理
第６回　テンソル積の定義と構成
第７回　テンソル積の性質
第８回　テンソル代数・交代代数と対称代数
第９回　射影加群
第１０回　群の表現・完全可約性
第１１回　シューアの補題とマシュケの定理
第１２回　指標と第2直交関係
第１３回　ネター加群と昇鎖条件
第１４回　到達度評価試験（授業内試験）
第１５回　試験の返却と解説，クルル・レマク・シュミットの定理，ウェッダーバーンの定理

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上記は大まかな目安であり、講義の進捗状況や受講者の理解度により各回の内容は変更または割愛することがある。

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