実解析Ａ

Real Analysis A

9921133

21MAANA303

三村　与士文

Yoshifumi MIMURA

2026年度前期

2026年度

①First semester

金曜6限

Friday's 6th period.

理学部第二部　数学科

Department of Mathematics, Faculty of Science Division Ⅱ

2.00単位

講義

Lecture

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① [対面]対面授業/ [On-site] On-site class

Riemann積分の理論を拡張したLebesgue積分の理論を学ぶ。前期では収束定理を理解し、応用できることを目標とする。キャリアとの関係では、測度空間の理論は数理ファイナンスの数学的理論と結びつくことを学ぶ。

Lebesgueの収束定理は解析学の多くの局面で重要な役割を果たしてきた。微積分で学ぶ程度の理論では積分と極限の順序交換は容易ではなく、Lebesgue積分が果たす重要性は大きい。同時に多くの具体例を通して実際に運用する計算技術を養う。
本学科のディプロマ・ポリシーに定める『数学に関する基礎的な知識やそれを習得するための技法を利用して理論的に思考する能力、並びに自らの意見を表現するための記述、プレゼンテーション等のコミュニケーション能力を習得する。』を実現するための科目です。

１．Riemann積分とLebesgue積分の違いを説明できる。
２．単関数からはじめ、可測関数に関する積分を定義する一連の流れを説明できる。
３．Lebesgueの収束定理を用いた計算問題が解けるようになる。

リンク先の [評価項目と科目の対応一覧]から確認できます（学部対象）。
履修登録の際に参照ください。
​You can check this from “Correspondence table between grading items and subjects” by following the link(for departments).
https://www.tus.ac.jp/fd/ict_tusrubric/​​​

解析学１、２の基本内容を理解していることが望ましい。

課題に対する作文　Essay／小テストの実施　Quiz type test

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各回ごとに準備学習・復習を目的とする基本的な問題をプリントして配布する。必ずすべての問題を解いて講義に望むこと。

中間試験と期末試験によって成績を評価する。成績評価への割合は、中間試験が40%、期末試験が50%、授業参画度が10%である。

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

N

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教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/​​​

It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
​​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/

『ルベーグ積分』 溝畑茂 著、岩波書店、1994年発行、978-4000218313
『ルベーグ積分入門』 伊藤清三 著、裳華房、2017年発行、978-4785313180
『実解析入門』 猪狩惺 著、岩波書店、1996年発行、978-4000054447
   
       

1. Riemann積分の復習
(準備学習) Riemann積分の定義を理解する。[2時間]
Riemann積分の弱点を理解する。
2. Riemann積分とLebesgue積分の違い。測度論の必要性
(準備学習) Dirichlet関数がRiemann積分不可能であることを理解する。[3時間]
(復習) 測度論によってRiemann積分の弱点が克服できることを理解する。
3.　Lebesgue測度 (1)
(準備学習) 実数上の上限と下限について理解する[2時間]
(復習) 外測度の定義を理解し、基本的な例の計算ができる。
4.　Lebesgue測度 (2)
(準備学習) 開集合と閉集合などの実数の位相概念を理解する。[3時間]
(復習) 可測集合の性質、σ加法族とその意義を理解する
5.　Lebesgue測度 (3)
(準備学習) 測度の基本性質と非可測集合の例を理解する。[3時間]
(復習) いくつかの省略された証明を完全なものにする。
6.　Lebesgue可測関数 (1)
(準備学習) 可測集合の性質を理解する。[3時間]
(復習) 可測関数の性質を理解する。
7.　Lebesgue可測関数 (2)
(準備学習) いくつかの具体的な関数の例の可測性を調べることができる。[3時間]
(復習) 極限操作によって可測性が保持されることを理解する。
8. Lebesgue積分 (1)
(準備学習) Dirichlet関数の例を説明できる。[3時間]
(復習) 単関数からLebesgue可積分関数へ定義を拡張できる。
9.　Lebesgue積分 (2)
(準備学習) 単調収束定理を理解する。[3時間]
(復習) 極限と積分の順序交換ができる。
10. Lebesgue積分 (3)
(準備学習) Riemann積分とLebesgue積分との関係を理解する。[3時間]
(復習) 非可測関数の例を理解する。
11. 収束定理 (1)
(準備学習) 単関数から可積分関数への拡張を実行できる。[3時間]
(復習) 優収束定理を用いた計算ができる。
12. 収束定理 (2)
(準備学習) 無限和と積分の順序交換ができる。[3時間]
(復習) 具体的な問題について計算が実行できる。
13. 可積分関数空間L^1 (1)
(準備学習) 実践的な場面での計算ができる。[3時間]
(復習) L^1関数の完備性を理解する。
14. 可積分関数空間L^1 (2)
(準備学習) 級数の理論を理解する。[3時間]
(復習) 可測関数の近似理論を理解する。
15. 到達度評価
(準備学習) 測度の必要性と、Lebesgueの積分の必要性を理解する。[3時間]
(復習) 具体的な計算が実行できる。

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なし

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