数学研究２ D組

数学研究２ D組

9911291

11MAZZZ302

藤原　尚俊

Naotoshi Fujihara

2026年度後期

2026年度

②Second semester

水曜4限、水曜5限

Wednesday 4th Period, Wednesday 5th Period

理学部第一部　数学科

Department of Mathematics, Faculty of Science Division Ⅰ

3.00単位

講義

Lecture

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① [対面]対面授業/ [On-site] On-site class

多様体についてセミナー形式で学習する。多様体とは２年次に学習した曲線や曲面の一般化であり、現代的な幾何学において必須の概念である。多様体論に慣れ親しみながら、その応用として分かるいくつかの定理（サードの定理、ホイットニーの埋め込み定理など）を理解し、それらの証明を行うことで、現代的な幾何学の面白さに触れたい。セミナー形式（輪講形式）とは、読む本を指定し、予習をした発表者が内容を聴衆に説明し、聴衆が聞いていて分からない箇所を発表者に質問することで、発表者と聴衆が相互に理解を深めていく学習スタイルである。したがって、内容に関する数学的な理解もさることながら、多くの人の前で自分が理解したことを説明する力、つまりプレゼンテーション能力を身につけることもこの授業の１つの狙いである。キャリア教育・職業教育の観点からも、プレゼンテーション能力は社会に出てから役に立つ力である。

【セミナーに関する一般的な目的】
４年次には各研究室に分かれ専門的な数学書を読むことを行う。この授業はその練習という位置付けも持っている。数学書を読んだときに、自分が分からない箇所や非自明な箇所を明確にし、分からない箇所について自分なりに考えたり、他の文献で調べるなどして解決する能力を身につけることが最初の目的である。また、自分が理解したことを聴衆に自らの言葉で分かりやすく説明する能力を身につけることが次の目的である。発表者と聴衆の双方向によるコミュニケーションによって、自分が学びたい学問の理解をより深めていくことが最終的な目的である。カリキュラムポリシーとの関係としては「数学的思考力・問題発見・解決能力の育成を目指す」ことに対応している。

【セミナー内容に関する具体的な目的】
２年次に学習した曲線や曲面の一般化である多様体について理解を深める。まずは多様体の定義の理解と、３次元以上の多様体の具体例に触れ、多様体の概念に慣れ親しむ。次に、多様体論の応用としていくつかの定理を紹介および証明することで、現代的な幾何学の面白さに触れる。

【セミナーに関する一般的な目標】
数学書を読んで、自分が分からない箇所や非自明な箇所を明確にすることができる。分からない箇所について自分なりに考えたり、他の文献で調べるなどして解決することができる。自分が理解したことを聴衆に自らの言葉で分かりやすく説明することができる。また、聴衆は発表者の論点を整理し、分からない箇所がある場合はそれを発表者に伝えることができる。場合によっては、全体の理解が深まるような建設的な質問を提供することができる。ディプロマポリシーとの関連としては「基礎学力を基盤として、現代社会における解決困難な様々な課題に対し、他者とコミュニケーションをとりながら、柔軟に応用展開できる能力」を養うことに対応している。

【内容に関する具体的な目標】
多様体の定義や、多様体と多様体の間の滑らかな写像の定義、またその微分写像の定義が言える。多様体の具体例を複数挙げることができる。具体的な多様体の間の具体的な写像が与えられたら、その微分写像を計算することができる。セミナー中に証明された定理をいくつか取りあげて、その主張と証明方法の概略を説明することができる。

リンク先の [評価項目と科目の対応一覧]から確認できます（学部対象）。
履修登録の際に参照ください。
​You can check this from “Correspondence table between grading items and subjects” by following the link(for departments).
https://www.tus.ac.jp/fd/ict_tusrubric/​​​

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ディベート・ディスカッション　Debate/Discussion／グループワーク　Group work／プレゼンテーション　Presentation

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自分が発表者かどうかに関わらず、毎週少なくとも２時間以上の予習・復習を行うこと。予習・復習の際には以下のようなことを行うと良いだろう。

・前回の内容を復習し、その概要を大まかに説明できるか確認する。
・次回に進みそうな部分の内容をまずは大まかに把握する。このときは多少分からない箇所があっても、そこに印をつけるなどして先を読み進めてみると良いだろう。
・次の回までに、読み飛ばした「分からなかった箇所（印をつけた箇所）」を理解することに全力を尽くそう。その際は他の文献で調べたり、友人や教員に質問しに行くと良いだろう。

発表者だけが該当範囲を理解していて聴衆は誰も該当範囲について予習をしていないという状況では有意義な輪講は成立しない。また発表者となれば発表の精度の高さが要求される。間違いを恐れる必要はないが、自分が分からない箇所ができるだけ少なくなるように入念に準備しよう。さらに時間があれば「どうやったら分かりやすく伝わるか？」という情報の伝え方まで準備してみよう。

以下の３つを考慮し総合的に成績を判定する：
（１）発表の準備状況及びプレゼンテーションの完成度
（２）他の受講者の発表の聞き方（発表に関する質問、自分が分からない箇所の申告、全体の理解を助けるようなコメントなどの有無）
（３）受講態度及びレポート等

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

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セミナーのテキストは、

足立正久著、微分位相幾何学、共立出版

を使用します（主に第１章を読む予定です）。

教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/​​​

It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
​​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/

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1回目：イントロダクション。数学書を使ったセミナーの方法について学ぶ。
2回目：多様体の定義について発表を行う。
3回目：多様体の具体例について発表を行う。
4回目：多様体の間の微分写像の基本的な性質について発表を行う。
5回目：多様体の間の微分写像の発展的な性質について発表を行う。
6回目：逆関数定理について発表を行う。
7回目：逆関数定理の応用について発表を行う。
8回目：近似定理について発表を行う。
9回目：近似定理の証明について発表を行う。
10回目：サードの定理について発表を行う。
11回目：サードの定理の証明について発表を行う。
12回目：1の分割について発表を行う。
13回目：はめこみ定理について発表を行う。
14回目：ホイットニーの埋め込み定理について発表を行う。
15回目：ホイットニーの埋め込み定理の証明について発表を行う。

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分からない部分に関しては事前に私に相談してもらっても構いません。 ただし、 自分の言葉で話せるように準備するようにしましょう。

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