代数学特論（二） 旧：代数学特論（二）

Advanced Algebra 2

991BA85

11MAALG504

吉川　祥

Sho Yoshikawa

2026年度前期

2026年度

①First semester

火曜3限

Tue 3

理学研究科　数学専攻

Department of Mathematics, Graduate School of Science

2.00単位

講義

Lecture

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① [対面]対面授業/ [On-site] On-site class

本年2026年は、フランスの誇る偉大な数学者Jean Pierre Serre氏（1926-）の生誕１００周年である。Serre氏は代数的トポロジー・代数幾何学・可換環論・代数的整数論・モジュラー形式等々、多岐にわたる分野において大きな貢献をしている（1954年にフィールズ賞受賞、2003年にアーベル賞を受賞）ほか、Corps Locaux（英訳：Local fields）、Cours d'arithmétique （邦訳：数論講義、岩波書店）、Représentations linéaires des groupes finis（邦訳：有限群の線型表現、岩波書店）など、名著を数多く生み出していることでも有名である。

本講義では、Serre氏による仕事の一つである所謂「Serre's open image theorem」を解説する。
定理の主張は大雑把には次のように述べられる：代数体上で定義された楕円曲線Eで虚数乗法を持たないものに対して、EのTate加群の定める２次元Galois表現の像は「大きい」。
Serre氏のMcGill大学での講義をもとにした著書
・Abelian ℓ-Adic Representations and Elliptic Curves（1967）
と、そのあとに出版された論文
・Propriétés galoisiennes des points d'ordre fini des courbes elliptiques（1972）
に沿って、どのようにして定理が証明されるのかを説明する。

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The year 2026 marks the centenary of the birth of the great French mathematician Jean-Pierre Serre (1926–). Serre has made fundamental contributions to a wide range of fields, including algebraic topology, algebraic geometry, commutative algebra, algebraic number theory, and modular forms. He was awarded the Fields Medal in 1954 and the Abel Prize in 2003. He is also renowned for his influential books, such as Corps Locaux, Cours d’arithmétique, and Représentations linéaires des groupes finis.

In this course, we will study one of Serre’s major achievements, the so-called Serre’s Open Image Theorem. Roughly speaking, the theorem states that, for an elliptic curve E defined over a number field without complex multiplication, the image of the two-dimensional Galois representation arising from the Tate module of E is as “large” as possible.

I will explain how the theorem is proved and examine the ideas underlying its proof by following Serre’s book based on his lectures at McGill University,
・Abelian ℓ-Adic Representations and Elliptic Curves (1967),
as well as his later paper,
・Propriétés galoisiennes des points d’ordre fini des courbes elliptiques (1972).

Serre氏の研究における手法や哲学は現代の整数論の研究においても息づいている。
氏の著作のような基礎文献を通じて、代数的整数論や楕円曲線の理論が、どのように運用され、どのように絡み合っているかの一例を学ぼう。

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The methods and mathematical philosophy developed by Serre continue to play a central role in modern research in number theory. Through a close study of his foundational works, we will explore how the theories of algebraic number theory and elliptic curves are employed in practice, and how they interact and intertwine.

(1) 代数体や局所体のGalois理論的側面（類体論、Galois表現）について、どのように使われるのかを理解する。
(2) 代数体上の楕円曲線、局所体上の楕円曲線の基礎事項について理解する。
(3) non-CMならばℓ進表現の像のLie環が大きいということの証明において、局所代数的表現とアーベル整合系という概念がどのように活用されているか理解する。（難しいが本質的な部分）
(4) non-CMならば有限個を除いた素数ℓに対して法ℓガロア表現の像がGL_2(F_ℓ)になることについて、論文の証明を理解する。

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(1) To understand how the Galois-theoretic aspects of number fields and local fields, such as class field theory and Galois representations, are employed in practice.

(2) To gain a solid understanding of the basic theory of elliptic curves over number fields and over local fields.

(3) To understand how the notions of locally algebraic representations and abelian compatible systems are utilized in the proof that the Lie algebra of the ℓ-adic Galois representation is “large” in the non-CM case. (This is technically difficult but conceptually essential.)

(4) To understand the proof, given in Serre’s paper, that the image of the mod ℓ Galois representation atached to a non-CM elliptic curve is equal to GL_2(F_ℓ) for all but finitely many primes ℓ.

群、環、体など、代数学の基本事項を理解しておく必要がある。予備知識としてガロア理論は仮定する。代数的整数論や楕円曲線は予備知識として仮定しないが、すべて基礎から証明することはしない（適宜、参考文献を挙げる）。

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A solid understanding of the basic concepts of algebra (such as groups, rings, and fields) is required. Also, students should be familiar with Galois theory. Prior knowledge of algebraic number theory or elliptic curves is not required; however, not all foundational results will be proved in detail in the lectures. References will be provided when necessary.

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各回の授業ごとに復習を各々1, 2時間程度行うこと。

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Students are expected to spend approximately one to two hours reviewing the material after each class.

レポートによって評価する。授業中にレポート問題を提示する。

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Evaluation will be based on written reports. Report topics will be assigned during the course.

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

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教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/​​​

It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
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J. -P. Serre, Abelian l-Adic Representations and Elliptic Curves (1st ed.). A K Peters/CRC. Press (1997). https://doi.org/10.1201/9781439863862
J. -P. Serre, Propriétés galoisiennes des points d'ordre fini des courbes elliptiques. Invent Math 15, 259–331 (1971). https://doi.org/10.1007/BF01405086

この授業は対面授業であるので、半数以上出席しなくてはならない。出欠は取らないが、基本的には授業に必ず出席するのが望ましい。

各回の授業は以下のテーマ・キーワードに沿って行う。進行具合によって、多少前後することがある。
第１回：講義の概観と主定理の概説
第２回：代数的整数論とガロア理論１
第３回：代数的整数論とガロア理論２
第４回：ガロア表現の基礎事項
第５回：楕円曲線１
第６回：楕円曲線２
第７回：これまでのまとめ（予備）
第８回：ℓ進Lie群とLie代数
第９回：代数群S_mとアーベル整合系１
第１０回：代数群S_mとアーベル整合系２
第１１回：ℓ進表現の像
第１２回：GL_2(F_ℓ)の部分群
第１３回：法ℓガロア表現とadelic image１（本のIV-19と論文の解説）
第１４回：法ℓガロア表現とadelic image２（本のIV-19と論文の解説）
第１５回：open image theoremにまつわる最近の進展

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Lecture 1: Overview of the course and introduction to the main theorem
Lecture 2: Algebraic number theory and Galois theory I
Lecture 3: Algebraic number theory and Galois theory II
Lecture 4: Basic aspects of Galois representations
Lecture 5: Elliptic curves I
Lecture 6: Elliptic curves II
Lecture 7: Review
Lecture 8: ℓ-adic Lie groups and Lie algebras
Lecture 9: The algebraic group S_m and abelian compatible systems I
Lecture 10: The algebraic group S_m and abelian compatible systems II
Lecture 11: The image of ℓ-adic representations
Lecture 12: Subgroups of GL_2(F_ℓ)
Lecture 13: Mod ℓ Galois representations and the adelic image I (IV-19 of Serre’s book and discussion of the paper)
Lecture 14: Mod ℓ Galois representations and the adelic image II (IV-19 of Serre’s book and discussion of the paper)
Lecture 15: Recent developments related to the Open Image Theorem

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