代数学輪講３ （八森）

Study Course on Algebra 3

996B402

61MAALG508

（担当未登録）

Yoshitaka HACHIMORI

2026年度前期

2026年度

①First semester

月曜4限、月曜5限

Monday, 4th and 5th Periods

創域理工学研究科　数理科学専攻

Department of Mathematics, Graduate School of Science and Technology

4.00単位

講義

Lecture

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① [対面]対面授業/ [On-site] On-site class

教員の指導のもとに所属する研究室の専攻分野に関する少人数の輪講を行う。

Students study assigned books or papers related to their major fields and explain their studies in classes with a small number of participants.

・学習してきたことを整理し確認すること。
・現代整数論における基礎知識と基本的な研究手法を身に付けること、それにより独自の研究への足掛かりを作ること。
・いずれの職種においても必要不可欠であろう自分の発見や理解したことを明晰かつ論理的に発表できる能力、およびその訓練を通じて今後のキャリア形成に役立つであろう論理的思考力や自己表現力を養うこと。
・特に数学教員を目指す学生に必要な、教育現場で深い専門知識を礎とした教育を実践するために必要な知識・能力を身につけること。

This course enables students to
・understand thoroughly and explain their subjects in classes
・acquire basic knowledge and fundamental techniques of investigations based on the modern number theory, thus establishing a foundation for original research
・acquire skills of logical presentation and, by practicing, foster logical thinking and self-expression, which would be beneficial in career development
・acquire deep knowledge of mathematics, without which people cannot serve as good teachers in high or junior high schools.

・楕円曲線とその数論的性質の基礎理論について、定義や重要な定理を述べることができる。
・理論を形づくる一連の命題、定理たちが成立つメカニズムを説明できる。
・具体例について計算や説明ができる。
・自分が発見したことや理解したことを人に明晰かつ論理的に伝えることができるようになる。
・余り良く理解できていない相手に対する配慮がおこなえるようになる。

Students should
・be able to state definitions and significant theorems with regard to the basic theory of elliptic curve and its arithmetic
・be able to explain the formation of a theory based on propositions and theorems and provide their proofs
・be able to calculate or explain easy examples for the aforementioned topics 　
・be able to convey the content of their own discovery or subjects they learned clearly and logically
・be able to consider participants who do not understand the explanations provided.

特になし
Nothing special

ディベート・ディスカッション　Debate/Discussion／プレゼンテーション　Presentation／反転授業　Flipped classroom

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前回セミナーで不十分だった点を復習し、理解のレベルを高めておくこと。次回のセミナーで発表できることの内容を十分吟味し、設定時間内に理路整然と発表できるよう、またいかなる質問にも対応できるように準備をすること。
時間の目安は復習に4時間、準備学習に4時間である。

Students should review unclear points and raise the level of understanding. Students should examine the content of their presentation for the next seminar and ensure that the lecture is well organized and can be finished within a given time.

輪講への貢献度により評価する。

Contribution to classes is evaluated.

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

N

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教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/​​​

It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
​​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/

学生の理解度に合わせて、専門書、または学術論文を授業中に指示する。

Other papers or books will be indicated in classes from time to time, depending on students' progress.

すべての授業を対面で受講することを求める。

J. Silverman著 “The Arithmethic of Elliptic Curve” (GTM 106 Springer-Verlag社) をもとに、楕円曲線の整数論の基礎を学ぶ。
１，２回： 序 --楕円曲線とは --その理論の有用性
３，４回： 射影多様体 --定義、函数体、射など
５，６回： 射影代数曲線 --因子とリーマン・ロッホの定理
７，８回： 楕円曲線の定義と基本的性質
９，１０回： 楕円曲線の定義と基本的性質（その２）
１１，１２回： 群構造
１３，１４回： 群構造（その２）
１５，１６回： 準同型、不変微分
１７，１８回： 有限体上の楕円曲線
１９，２０回： 複素数体上の楕円曲線
２１，２２回： 有理数体上の楕円曲線 --弱モーデル・ヴェイユ定理
２３，２４回： ガロアコホモロジーとセルマー群
２５，２６回： 有理点の高さとモーデル・ヴェイユの定理
２７，２８回： 現代数論における楕円曲線
２９，３０回： これまでのまとめ　

Learn basic theory of elliptic curves with J. Silverman's book “The Arithmetic of Elliptic Curve” (GTM 106 Springer-Verlag).
1st & 2nd: Introduction—What is elliptic curve? Utility of the theory
3rd & 4th: Projective varieties—Definitions, Function fields, Morphisms, etc.
5th & 6th: Projective curves—Divisors and a theorem of Riemann–Roch
7th & 8th: Definition of elliptic curves and basic properties
9th & 10th: Definition of elliptic curves and basic properties (2)
11th & 12th: Group structure of elliptic curves
13th & 14th: Group structure of elliptic curves (2)
15th & 16th: Homomorphisms and invariant differentials
17th & 18th: Elliptic curves over finite fields
19th & 20th: Elliptic curves over the complex field
21st & 22nd: Elliptic Curves over the rational numbers—Weak Mordell–Weil's theorem
23rd & 24th: Galois cohomology and Selmer Groups
25th & 26th: Heights of rational points and Mordell–Weil's theorem
27th & 28th: Elliptic curves in modern number theory
29th & 30th: Overall review

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特になし
Nothing special

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