シラバス情報

教員名 ： 白柳　潔
科目授業名称（和文）　Name of the subject/class (in Japanese)
記号処理特論 旧：数式処理特論1
科目授業名称（英文）　Name of the subject/class (in English)
Topics in Symbolic Computation
授業コード　Class code
991JB03
科目番号　Course number
14MAAPM510

教員名
白柳　潔
Instructor
Kiyoshi Shirayanagi

開講年度学期
2026年度前期
Year
2026年度
Semester
①First semester
曜日時限
水曜3限
Class hours
Wednesday 3rd Period

開講学科・専攻　Department
理学研究科　応用数学専攻

Department of Applied Mathematics, Graduate School of Science
単位数　Course credit
2.00単位
授業の方法　Teaching method
講義

Lecture
外国語のみの科目（使用言語）　Course in only foreign languages (languages)
-
授業の主な実施形態　Main class format
① [対面]対面授業/ [On-site] On-site class

概要　Description
グレブナ基底の理論について証明抜きで簡単に概説した上で、浮動小数グレブナ基底の理論に入る。
その中で、浮動小数近似で実行すると不安定になるブッフバーガーアルゴリズムを安定化するための手法について説明する。
その後、それを一般化した代数的アルゴリズムの安定化理論について解説する。

This course begins with a brief overview of Gröbner basis theory without proofs, and then introduces the theory of floating-point Gröbner bases.
It explains techniques for stabilizing the Buchberger algorithm, which becomes unstable when executed with floating-point approximations.
Finally, the course covers a theory of stabilizing algebraic algorithms that generalizes these techniques.
目的　Objectives
本講義の目的は、正確計算向けの数式処理アルゴリズムを浮動小数などの近似計算を用いて実行すると、一般に
全く違った出力を導くことがあるという不安定性の問題を認識し、それに対処するための安定化手法の理論を理解することである。

The aim of this course is to recognize the instability issues that arise when symbolic computation algorithms designed for exact computation are executed using approximate computations such as floating-point arithmetic, which can generally lead to completely different outputs, and to understand the theory of stabilization methods for addressing these issues.
到達目標　Outcomes
  1. グレブナ基底の理論を理解することができる。
  2. ブッフバーガーアルゴリズムを理解し、実際に簡単な例に対してグレブナ基底を計算することができる。
  3. ブッフバーガーアルゴリズムを浮動小数近似で実行すると、不安定な結果になることを認識することができる。
  4. 浮動小数近似を使っても安定な結果を得るためのブッフバーガーアルゴリズムの安定化手法を理解することができる。
  5. 安定化手法の一般化として、代数的アルゴリズムの安定化理論を理解することができる。

1.  Students will be able to understand the theory of Gröbner bases.

2.  Students will be able to understand Buchberger’s algorithm and actually compute Gröbner bases for simple examples.

3.  Students will be able to recognize that executing Buchberger’s algorithm with floating-point approximations can lead to unstable results.

4.  Students will be able to understand stabilization techniques for Buchberger's algorithm that yield stable results even when using floating-point approximations.

5.  As a generalization of these stabilization techniques, students will be able to understand the theory of stabilizing algebraic algorithms.


卒業認定・学位授与の方針との関係（学部科目のみ）
履修上の注意　Course notes prerequisites
線形代数や基本的な代数学（群、環、体）、初歩的な位相の知識が必要である。
また、プログラミング言語は問わないが、ある程度のプログラミング能力があると望ましい。

Basic knowledge of linear algebra, elementary algebra (groups, rings, and fields), and introductory topology is required.
Although the choice of programming language is not restricted, a certain level of programming proficiency is desirable.
アクティブ・ラーニング科目　Teaching type（Active Learning）
-
-

準備学習・復習　Preparation and review
復習としては、授業ノートを読み直し、不明な点は残さず完全に理解しておくこと。

For review, students should reread the lecture notes and ensure that all unclear points are fully understood.
成績評価方法　Performance grading policy
提出された課題に依る。

Evaluation will be based on the submitted assignments.
学修成果の評価　Evaluation of academic achievement
・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

教科書　Textbooks/Readings
教科書の使用有無（有=Y , 無=N）　Textbook used(Y for yes, N for no)
N
書誌情報　Bibliographic information
-
MyKiTSのURL（教科書販売サイト）　URL for MyKiTS(textbook sales site)
教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/​​​

It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
​​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/

参考書・その他資料　Reference and other materials
  • 計算機代数の基礎理論    長坂耕作、岩根秀直、北本卓也，讃岐勝、照井章、鍋島克輔    共立出版 2019.　ISBN 9784320113732

  • Ideals, Varieties, and Algorithms: An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra

     David A. Cox, John Little, Donal O'Shea, 5th edition.  Springer 2025 (Undergraduate Texts in Mathematics).　ISBN 9783031918407

授業計画　Class plan
全授業（15回）のうち半数（8回）以上を対面で受講すること．
Require all students to attend 50%-or-more-on-site classes.

第１回：グレブナ基底概論１（一変数の場合、簡単化）
第２回：グレブナ基底概論２（多変数の場合、項順序）
第３回：グレブナ基底概論３（ブッフバーガーアルゴリズム）
第４回：グレブナ基底概論４（基本的な応用、ロボット制御への応用）
第５回：グレブナ基底概論５（ブッフバーガーアルゴリズムの不安定性）
第６回：浮動小数グレブナ基底の理論１（区間演算と区間係数多項式）
第７回：浮動小数グレブナ基底の理論２（ブッフバーガーアルゴリズムの安定化定理）
第８回：浮動小数グレブナ基底の理論３（安定化されたブッフバーガーアルゴリズム）
第９回：浮動小数グレブナ基底の理論４（上記アルゴリズムの停止性と正当性）
第１０回：代数的アルゴリズムの安定化理論１（データ集合、構造的関数と構造的アルゴリズム）
第１１回：代数的アルゴリズムの安定化理論２（代数的アルゴリズム）
第１２回：代数的アルゴリズムの安定化理論３（半順序集合とゲージ、近似、収束、安定性）
第１３回：代数的アルゴリズムの安定化理論４（ブラケット係数、書き換えマジック、述語の不連続集合）
第１４回：代数的アルゴリズムの安定化理論５（安定化手法と安定化定理、実例）
第１５回：本科目内容の到達度（達成度、習得度）の確認と内容に関しての解説 summary

  1. Introduction to Gröbner Bases I (univariate case, simplification)

  2. Introduction to Gröbner Bases II (multivariate case, term ordering)

  3. Introduction to Gröbner Bases III (Buchberger’s algorithm)

  4. Introduction to Gröbner Bases IV (fundamental applications, including robot control)

  5. Introduction to Gröbner Bases V (instability of Buchberger’s algorithm)

  6. Theory of Floating-Point Gröbner Bases I (interval arithmetic and interval-coefficient polynomials)

  7. Theory of Floating-Point Gröbner Bases II (stabilization theorem for Buchberger’s algorithm)

  8. Theory of Floating-Point Gröbner Bases III (stabilized Buchberger’s algorithm)

  9. Theory of Floating-Point Gröbner Bases IV (termination and correctness of the above algorithm)

  10. Theory of Stabilization of Algebraic Algorithms I (data sets, structured functions, and structured algorithms)

  11. Theory of Stabilization of Algebraic Algorithms II (algebraic algorithms)

  12. Theory of Stabilization of Algebraic Algorithms III (partially ordered sets, gauges, approximation, convergence, and stability)

  13. Theory of Stabilization of Algebraic Algorithms IV (bracket coefficients, rewriting magic, and discontinuity sets of predicates)

  14. Theory of Stabilization of Algebraic Algorithms V (stabilization methods and theorems, with examples)

  15. Review and summary: assessment of learning outcomes and explanation of course content











担当教員の実務経験とそれを活かした教育内容　Work experience of the instructor
企業の研究所の研究員ならびに大学の教員（いずれも専門は計算代数、代数学）としての勤務経験を活かし、計算代数に関する講義を行う。

The course is taught based on the instructor’s professional experience in computational algebra and algebra at both corporate research laboratories and universities.
教育用ソフトウェア　Educational software
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備考　Remarks

授業でのBYOD PCの利用有無　Whether or not students may use BYOD PCs in class
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授業での仮想PCの利用有無　Whether or not students may use a virtual PC in class
N