位相数学特論Ｂ

Special Problems in Topology B

992B432

水澤　篤彦

Atsuhiko MIZUSAWA

2026年度後期

2026年度

②Second semester

月曜7限

Monday 7th. Period

理学専攻科　数学専攻

Department of Mathematics, Special Training Course for Teachers

2.00単位

講義

Lecture

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① [対面]対面授業/ [On-site] On-site class

「結び目理論」を通じて, 物の形の位相幾何学(トポロジー)的な取扱いを学ぶ.
数学科教員を目指す学生に対して，一般化した図形の概念の見方を豊かにするためのキャリア教育である．

3次元ユークリッド空間(または, 3次元球面) に円周を埋め込んだものを結び目という.
3次元のものに1次元のものを埋め込むと, 一般にさまざまな絡み方をする.
不変量を通して結び目の分類や幾何的な情報を取り出そうとするのが「結び目理論」である.

低次元トポロジーでは, 連続的に変形できるものは同じものとして扱うという立場がある.
この立場に立つと, 「立方体の表面と球面」, 「ドーナツとコーヒーカップ」 等は同じものとみなす.

後期「位相数学特論B」では, 多項式型の不変量をテーマに講義を行う.
アレクサンダー多項式, ジョーンズ多項式の一般化であるホンフリーピーティー(HOMFLY-PT)多項式を紹介する.
多項式不変量の係数は, 適当な変換の下, 有限型不変量(バシリエフ不変量)と呼ばれる種類の不変量になっていることを紹介する.
有限型不変量全体は, 結び目の完全不変量になっていると予想されている.

グラフの3次元球面への埋め込みである, 空間グラフを導入し, 空間グラフの多項式型不変量も紹介する. 

「結び目理論」を通じて, 物の形の位相幾何学(トポロジー)的な取扱いを学ぶ.
ディプロマ・ポリシーに定める「高等な現代数学に関する専門的知識。その知識の修得課程に必要となる優れた洞察力や粘り強い論理的思考力、及び問題解決力。加えて、演習や卒業研究ゼミを通して自らの数学を記述・発表するための表現力、及びコミュニケーション能力」を実現させる科目である．

リンク先の [評価項目と科目の対応一覧]から確認できます（学部対象）。
履修登録の際に参照ください。
​You can check this from “Correspondence table between grading items and subjects” by following the link(for departments).
https://www.tus.ac.jp/fd/ict_tusrubric/​​​

初等的な内容から始めるが,
線形代数学, 微分積分, 位相空間論, 多様体の知識を得ていることが望ましい.

また, 「位相数学特論A」と合わせて履修すると理解が深まる.

課題に対する作文　Essay／小テストの実施　Quiz type test

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・「授業計画」を参考に参考書等をよみ準備学習をしておくこと.
・授業時に簡単な演習問題を配布する予定である. それ等も利用し, 学習した内容を定着させること.
・LETUSで指示することもある．

演習課題 40%, 最終レポート提出 60%

一部, 演習課題については後日, LETUSに解答例を掲載します.

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

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教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/​​​

It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
​​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/

資料：授業で指示する．

参考書： 

(結び目理論)
「結び目の数学」　C. アダムス 著, 金信泰造 訳, 丸善出版, 2021年発行, 978-4-621-30595-9
「結び目の理論」　河内 明夫 著, 共立出版, 2015年発行, 9784320111837
「結び目理論 概説」　W. B. R. リコリッシュ 著, 秋吉宏尚 他 訳, シュプリンガー・フェアラーク東京, 2000年発行, 978-4431708599

(有限型不変量(バシリエフ不変量))
「結び目の不変量」　大槻 知忠 著, 共立出版, 2015年発行, 978-4320111981
「結び目理論　一般の位置から観るバシリエフ不変量」　谷山 公規 著, 共立出版, 2023年 発行, 978-4-320-11394-7

(空間グラフ)
「空間グラフの理論」　小林 一章 著, 培風館, 2015 発行, 978-4563002329
「空間グラフのトポロジー」　新國 亮 著, サイエンス社, SGCライブラリ178, 2022年 発行, 978-4-7819-1548-7 

その他, 多数

結び目のデータベース
Knot Info: https://knotinfo.org/

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