数論Ｂ

Number Theory B

9921A43

21MAALG308

野村　次郎

2026年度後期

2026年度

②Second semester

月曜5限

理学部第二部　数学科

Department of Mathematics, Faculty of Science Division Ⅱ

2.00単位

講義

Lecture

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① [対面]対面授業/ [On-site] On-site class

二次体の整数論について学ぶ。具体的には、二次体の整数環や単数の構造及びイデアルのノルム、分解、分岐について解説した後、ゼータ関数などの複素関数とイデアル類群との関係について解説する。

二次体の整数論を通じて「イデアル」などの抽象概念の意義を確認し、二次体に付随する様々な量を計算できるようにする。この科目は，本学科のディプロマ・ポリシーに定める『理論的に思考する能力』を鍛え上げる科目のうちの一つである．

1. 二次体のイデアルのノルムを計算できる。
2. 与えられた二次体のイデアルの素イデアル分解ができる。
3. 与えられた素数の二次体における分岐の様子を判定できる。
4. 二次体の基本単数を求めることができる。
5. 二次体の類数を計算できる。

リンク先の [評価項目と科目の対応一覧]から確認できます（学部対象）。
履修登録の際に参照ください。
​You can check this from “Correspondence table between grading items and subjects” by following the link(for departments).
https://www.tus.ac.jp/fd/ict_tusrubric/​​​

群論，環論，複素関数論の初歩的なことは（逐一的な復習は行わないので）勉強しておくこと．特に、

・商群、商環の定義と計算、
・イデアルの定義と性質、
・正則関数、有理型関数の定義、
・留数定理、一致の定理の主張

は理解されていることが強く望まれる。また、初等整数論(数論A)の履修は前提とはしないが「平方剰余の相互法則」の主張を理解していることが望ましい。

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各回の講義内容（特に具体例に関する部分）を十分に復習すること．また，自分で新しい例を構成し，それに新しく学んだ概念等を適用できるようにしておくこと．

本学科のディプロマ・ポリシーに定める「実力主義の伝統」，及び「自らの意見を表現するためのコミュニケーション能力を養う」に基づき，以下の点を重視する．

　1. 各自講義ノートを十分に復習し，必要に応じて図書館などで文献を参照するなどして積極的に学修すること．

　2. 教員に質問する場合は，必ず自分の考えを述べること．家庭教師的に一から十まで解説することはしない．

原則として定期試験とレポートにより評価する．およそ，試験60％，レポート40％とする．達成度評価を受けなければ単位は認定されません。

出席は履修の前提であるため，欠席が多ければ単位を取得できなくなる場合があります. また，出席状況で加点されることもありません.

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

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教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/​​​

It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
​​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/

「数論入門」，山本芳彦，岩波書店
「整数論2: 代数的整数論の基礎 」，雪江明彦，日本評論社
「初等整数論講義 第２版」，高木貞治，共立出版

概ね，以下に沿って解説する予定である．

1.講義の概略
本講義で取り扱う抽象概念の導入と最終目標である「解析的整数論」の主張を概観する。
2. 二次体の整数環
二次体とその「整数」を定義し基本的な性質を解説する。
3.二次体の イデアル
二次体の「イデアル」を定義しその諸性質を証明する。
4. 素イデアル I
二次体の素イデアルの基本的な性質を解説する。
5.素イデアル II
二次体のイデアルが素イデアルの積に一意的に分解できることを示す。
6.素イデアル III
二次体の整数環における有理素数の分岐、惰性、分解の判定条件について解説する。
7. イデアル類群Ⅰ
二次体のイデアル類群を定義し、その意義を解説する。また、イデアル類群の有限性を示す。
8. イデアル類群Ⅱ
具体的な二次体のイデアル類群を実際に計算する方法を紹介する。
9.二次体の単数
二次体整数環の可逆元全体がどのような構造をしているのか解説する。
10. リーマンゼータ関数 I
リーマンゼータ関数の基本的な性質を解説する。
11.リーマンゼータ関数 II
リーマンゼータ関数が複素数平面上に有理形に解析接続できることを証明する。
12. デデキントゼータ関数とディリクレのL関数　　
デデキントゼータ関数とディリクレのL関数の定義と基本的な性質を解説する。
13.類数公式 I
二次体の「解析的類数公式」の証明の前半を解説する。
14. 類数公式Ⅱ　　
二次体の「解析的類数公式」の証明を完成させる。
15. 総合的なまとめの授業と到達度評価を行う。

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