位相数学１Ｂ （金・５）

Topology 1B

9921443

21MAFUM202

酒井　祐貴子

Sakai, Yukiko

2026年度後期

2026年度

②Second semester

金曜5限

5th period on Friday

理学部第二部　数学科

Department of Mathematics, Faculty of Science Division Ⅱ

2.00単位

講義

Lecture

-

① [対面]対面授業/ [On-site] On-site class

大学初年次の解析では，もっぱらユークリッド空間上の関数の微積分を扱った．特に，ε-δ論法を用いて関数の連続性を定義した．本講では，距離空間とは限らない一般の集合上で，写像の連続性という概念を定式化する．そのために，「開集合」という概念を集合上で定義する．開集合系が与えられた集合を位相空間という．本講では，この位相空間の性質を詳しく学ぶ．

授業の形式については，基本的に板書形式の対面授業で行うが，必要に応じてオンライン授業になる場合がある．その場合は事前に周知する．

端的に言えば，位相空間論とは空間の連続変形で変わらないようなもの（位相不変量という）を考察する学問で，究極的には位相空間の同型類（同相類）を完全に分類することが目標である．本講ではその最も入門的な内容を扱い，直線と円周を数学的に区別できるようになることが一つの目標である．

代数学，幾何学，解析学などあらゆる現代数学の根幹をなす位相空間論は，将来，数学のどのような分野に進むにしても必ず必要になるものである．具体的には以下に掲げることが到達目標である．

１．ユークリッド空間の開集合の性質をしっかり理解する．
２．一般の位相空間の開集合とその性質を理解し，いくつかの具体例を構成できる．
３．位相空間の部分集合に対して，その内部や閉包などが具体的に計算できる．
４．部分空間，直積空間，商空間の定義をしっかり理解し，具体例を構成できる．
５．商空間上の写像について，その連続性を判定できる．
６．ハウスドルフ性，連結性，コンパクト性などの位相不変量を，位相空間の分類問題に適用できる．

リンク先の [評価項目と科目の対応一覧]から確認できます（学部対象）。
履修登録の際に参照ください。
​You can check this from “Correspondence table between grading items and subjects” by following the link(for departments).
https://www.tus.ac.jp/fd/ict_tusrubric/​​​

逐一復習はしないので，数学概論，及び集合論（位相数学１Ａ）を理解しておくこと．代数学2で扱う内容（特に，加法群の簡単な性質）を理解していることが望ましい．

課題に対する作文　Essay／小テストの実施　Quiz type test

-

各回の講義内容（特に具体例に関する部分）を十分に復習すること．また，自分で新しい例を構成し，それに新しく学んだ概念等を適用できるようにしておくこと．講義の前半では数回程度LETUSの小テスト機能を利用した課題を課す．解答は翌週の講義までにLETUS上に掲載する．また，講義が半分ほど進んだところでレポートを課す（締め切りは課題掲出の約1か月後に設定予定）．レポートについては最後の授業で簡単なフィードバックを行う．


本学科のディプロマ・ポリシーに定める「実力主義の伝統」，及び「自らの意見を表現するためのコミュニケーション能力を養う」に基づき，以下の点を重視する．

　1. レポートなどの模範解答を安易に配布することはしない．各自講義ノートを十分に復習し，必要に応じて図書館などで文献を参照するなどして積極的に学修すること．

　2. 教員に質問する場合は，必ず自分の考えを述べてから質問すること．

主に定期試験とレポートにより評価する．およそ，試験60％，レポート30％，平常点10％（小テスト、課題提出等）とする．中間レポートを提出しない者，試験を受けない者は単位を放棄したものとみなす．小テストやレポートの略解などはLETUSに掲載する．出席は履修の前提であるため、欠席が多ければ単位を取得できなくなる場合がある．また、出席状況で加点されることもない．

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

N

-

教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/​​​

It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
​​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/

教科書は特に指定しませんが，主に以下のテキストをもとに授業を行います．

　1. 『集合と位相空間』森田茂之著（朝倉書店）2002年発行，ISBN:978-4254115888
　2. 内田伏一著『集合と位相』（裳華房）2020年発行，ISBN:978-4785314125

これらのテキストは，理論的なことがしっかりと，かつコンパクトにまとめられているので，意欲的な学生には丁度良いですが，不慣れな初学者の自習書としては少し程度が高いかもしれません．少し言い回しは難しい表現を用いていますが，解説が丁寧なテキストとして，他にも

　3. 松坂和夫著『集合・位相入門』（岩波書店）1968年発行，ISBN:978-4000054249

などがあります．

概ね以下の順にしたがって解説する．

１．　ユークリッド空間と写像の連続性　
２．　ユークリッド空間の開集合
３．　一般位相空間
４．　近傍系，可算公理
５．　位相空間の点の分類，連続写像
６．　位相空間の構成（部分空間，直積空間）
７．　位相空間の構成（商空間）
８．　分離公理
９．　連結性
１０．弧状連結，中間値の定理
１１．コンパクト空間
１２．ユークリッド空間内のコンパクト集合
１３．写像類群
１４．距離空間
１５．到達度評価

特になし

-

-

特になし．

N

N