続線形代数２

Advanced Linear Algebra 2

9914625

14MAALG301

黒沢　健

Takeshi Kurosawa

2026年度前期

2026年度

①First semester

水曜3限

Wed. 3rd period

理学部第一部　応用数学科

Department of Applied Mathematics, Faculty of Science Division Ⅰ

2.00単位

講義

Lecture

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① [対面]対面授業/ [On-site] On-site class

1年生で学習した線形代数であるが、線形代数は2年時以降の全ての教科における基礎となる科目であるため、復習をかねて新しい事柄と共に再度勉強をしなおす。ただし、1年生のときに習得した線形代数と異なり、抽象的に線形代数を学ぶことで、数ベクトル空間に限らない広い概念で線形代数を理解していく。

複素ユークリッド空間について学び、実ユークリッド空間からの拡張の仕方について学ぶ。特に、線形変換に関しては、共役写像の概念を学び, 正規変換の概念を導入する。また、後半では、一般固有空間について学び、ジョルダン標準形の概念について学ぶ。講義では行列に限った分解だけを扱うわけではないが、行列の場合でわかりやすく考えると、ジョルダン標準形とは対角化できない行列に対して対角化に似た形に変形することにある。また、一般固有空間への射影を与えるため、線形変換に対する最小多項式などの概念も学ぶ。

数ベクトル空間との関連性を意識しながら、一般的な線形空間に関する知識を深め、ジョルダン標準形など、1年次に習得していない様々なトピックに関して理解することを目的とする。

この科目は、本学科のカリキュラムポリシーに定める多様かつ多数の選択科目（選択必修科目）のうちの一つである。
特に「数学を中心とする基礎教育」（カリキュラム・ポリシーより）、「数学を中心とする基礎知識」（ディプロマ・ポリシーより）を習得する。

複素線形空間と実空間の関係性やその拡張性について理解することを目標にする。
また、ジョルダン標準形の具体的な計算ができるようになることを目標の1つに掲げる。

リンク先の [評価項目と科目の対応一覧]から確認できます（学部対象）。
履修登録の際に参照ください。
​You can check this from “Correspondence table between grading items and subjects” by following the link(for departments).
https://www.tus.ac.jp/fd/ict_tusrubric/​​​

1年生の線形代数の基本的な事項については理解していることを前提とし、続線形代数１の内容を理解していることを前提とするため、続線形代数１を習得していることが望ましい。

課題に対する作文　Essay

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レジメを配布するので、次回の授業で何を学ぶかを頭に入れておくこと。授業は抽象的な空間について言及するため、予習の際に1年生で学習した数ベクトル空間の場合に照らし合わせると、定理の主張が何を意味しているか理解しやすい。

課題や到達度評価を中心に、授業中の議論への参加状況などの平常点も考慮して、総合的に評価する。
出席に関しては、学内NWからの出席のみを出席カウントします。
学内にいるのにもかかわらず、誤って外部NWからのアクセスをした場合は当該授業当日の授業終了直後までに申し出てください。
出席回数が少ない場合は、到達度評価試験の受験を認めないことがあります。

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

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教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/​​​

It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
​​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/

笠原 晧司「線形代数と固有値問題」現代数学社
の本の一部を使って授業を行う。絶版になっていたが、2016年4月に再版されたので必要に応じて購入すればよい。ただし、必要なことは全て板書し、レジメで補足するので、その他線形代数の本を持っていれば、わざわざ入手する必要性はない。また以下の本も講義の参考にしてほしい。
齋藤 正彦「線型代数入門」
数学編集委員会編「理工系の基礎　数学Ⅰ」丸善出版

この授業では全授業回数のうち、半数以上の授業回を対面で受講することが求められます。
 ただし、残りの半数の授業回を出席しなくてよいことを意図するものではありません。

1. 複素線形空間
複素線形空間の演算の定義及び、実線形空間からの拡張について理解する。

2. 複素線形空間
実ユークリッド空間で定義されたノルムの複素化について理解する。

3. 複素線形空間
線形変換の複素化について理解する。またエルミート変換、ユニタリ変換について理解する。

4. 複素線形空間
一次形式、双一次形式、共役双一次形式について理解する。

5. 複素線形空間
共役変換とその基本的な性質について理解する。

6. 複素固有値問題
エルミート変換の固有値問題について理解する。

7. 複素固有値問題
正規変換とスペクトル分解の同値性について理解する。

8. 中間まとめ
複素線形空間、複素固有値問題についての理解を確認する。

9. 一般固有空間
一般固有空間と複素ユークリッド空間の直和分解について理解する。

10. 一般固有空間
最小多項式と射影、一般スペクトル分解について理解する。

11. ジョルダン標準形
ジョルダン標準形について理解する。

12．ジョルダン標準形
S+N分解と具体的なジョルダン標準形の計算手順について学ぶ。

13．ジョルダン標準形
ジョルダン標準形の具体的な計算例１

14．ジョルダン標準形
ジョルダン標準形の具体的な計算例２

15. 到達度評価
本科目の理解度の確認を行い、本科目の内容を総合的に理解する。

ただし、授業の進度に応じて15回目ではなく、13回目もしくは14回目にそれまでの到達度評価を行い、残りの講義で補論を行う可能性がある。

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Mathematica／-

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TAがいるので、授業の質問があったら相談してみるとよい。

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