表現論

Representation Theory

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11MAALG511

功刀　直子

Naoko Kunugi

2026年度後期

2026年度

②Second semester

火曜3限

tue 3

理学研究科　数学専攻

Department of Mathematics, Graduate School of Science

2.00単位

講義

Lecture

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① [対面]対面授業/ [On-site] On-site class

有限群の表現論について学ぶ。

In this lecture, we study representation theory of finite groups.

加群論的な立場から，有限群の通常表現，およびモジュラー表現論の基礎的な内容を身に付けることを目的とする。　

The goal is to acquire the basic contents of ordinary and modular representation theory of finite groups from a module theoritical point of view.

Weddurburn, Maschke の定理を理解し，半単純となる群環の簡単な例において，その構造を記述することができる。また，半単純とはならない群環において，直既約射影加群の構造を記述する一つの手段である根基列，台列等を理解し，簡単な具体例でそれらを求めることができる。　　


Understand Weddurburn, Maschke's theorem and be able to describe its structure in a simple example of a semisimple algebra. In addition, in a group algebra that is not semisimple, it is possible to understand radicals and socles, which are one means of describing the structure of indecomposable projective modules, and to obtain them with simple concrete examples.  

学部２年次の「代数学2」の内容である環、体の基礎理論を習得していること。また、「環と加群１」「環と加群２」「体とガロワ理論」を履修していることが望ましい。

Acquisition of basic theories of rings and fields, which are the contents of "Algebra 2" in the undergraduate second year. In addition, it is desirable to take "Rings and modules 1, 2" and "fields and Galois theory" in the undergraduate third year.

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予習・復習にそれぞれ一時間程度は必須である。授業でできなかった細かな証明などは自分で試してみることが必要である。

One hour is required for each preparation and review. It is necessary to try out the detailed proofs that could not be done in class by yourself.

毎回の講義での取組み状況や期間中のレポート課題などの平常点と、期末レポート課題等の結果を総合的に評価する。

Evaluate comprehensively the normal points such as the status of each lecture and some reports and the results of the achievement evaluation reposrts.

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

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教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/​​​

It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
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参考書例
エティンゴフ他著「表現論入門」丸善出版 (2023).
I. Assem 他著　Elements of representation theory of associative algebras 1.  London Math. Soc. Student Texts 65 (2006).
その他の資料については授業中に説明します。

各回の授業は以下のテーマ・キーワードに沿って行い，それらの概念を学び理解する．進度によって変更になることもある。

１．　　群の表現の導入と定義
２．　　多元環，群環，加群，部分加群，単純加群，直既約加群など
３．　　直交べき等元分解と加群の分解，群環における例
４．　　べき等元の持ち上げ
５．　　自己準同型環，　シューアの補題，Fitting の補題
６．　　半単純環，根基，Wedderburn の構造定理
７．　　半単純環，Maschke の定理，具体例
８．　　これまでのまとめと補足
９．　　Homに関する基本性質
１０．　射影加群，直既約加群，カルタン行列
１１．　Quiver の定義と例
１２．　群環とQuiver　
１３．　群環における計算例１
１４．　群環における計算例２
１５．　これまでのまとめと補足

Each lesson is based on the following themes and keywords to learn and understand those concepts.

1. Introduction to group representations
2. Algebras, group algebras, modules, submodules, simple modules, indecomposable modules.
3. Pairwise orthogonal idempotents, direct decomposition of modules,
4. Lifting of idempotents
5. Endomorphism algebras, Schur's lemma, Fitting's lemma,
6. Semisimple algebras, radicals, Wedderburn's structure theorem
7. Seimisimple algebras, Maschke's theorem
8. Summary
9. Basic properties for Hom.
10. Projective modules, indecomposable modules, Cartan matrices.
11. Quivers
12. Quivers for group algebras
13. Examples 1
14. Examples
15. Summary

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