シラバス情報

教員名 ： 大場　清
科目授業名称（和文）　Name of the subject/class (in Japanese)
位相幾何学（一） （博士後期課程用）旧：位相幾何学（一）
科目授業名称（英文）　Name of the subject/class (in English)
Algebraic Topology 1 (Doctor)
授業コード　Class code
991BZ19
科目番号　Course number
11MAGEO507

教員名
大場　清
Instructor
Kiyoshi OHBA

開講年度学期
2026年度前期
Year
2026年度
Semester
①First semester
曜日時限
月曜2限
Class hours
Monday 2nd Period

開講学科・専攻　Department
理学研究科　数学専攻　

Department of Mathematics, Graduate School of Science
単位数　Course credit
2.00単位
授業の方法　Teaching method
講義

Lecture
外国語のみの科目（使用言語）　Course in only foreign languages (languages)
-
授業の主な実施形態　Main class format
① [対面]対面授業/ [On-site] On-site class

概要　Description
代数的位相幾何学の理論のうち特異ホモロジー論について、基礎から論じて特異ホモロジー群の位相不変性・ホモトピー不変性を理解し，CW複体の構造を持つ位相空間のホモロジー群の計算までの事項を習得することを目標とする。
We give lectures on the basics of singular homology theory: the definition of singular homology groups, topological and homotopy invariance of those groups, the computation of homology groups of topological spaces with the structure of CW complexes, and so on.
目的　Objectives
代数的位相幾何学の基礎的な理論の一つである特異ホモロジーの理論を習得し、さまざまな位相空間の性質を理解するとともに初等的なホモロジー代数を用いてその特異ホモロジー群を計算できるようになることを目的とする。またCW複体の構造を持つ位相空間に対しては，CW複体の構造を利用して特異ホモロジー群が計算できることについて理解することを目的とする。
The aim of the course is to acquire the theory of singular homology, one of the fundamental theories of algebraic topology, to be able to compute the singular homology groups of various topological spaces using elementary homological algebra. The aim is also to understand that for topological spaces with the structure of a CW complex, the singular homology group can be computed using the structure of the CW complex.

到達目標　Outcomes
位相空間に対し，その特異ホモロジー群が如何なるものか、また次元の異なるユークリッド空間がどうして同相でないかについて説明できるようになること、そして、具体的かつ基本的な位相空間に対して、その特異ホモロジー群を計算できるようになること等を到達目標とする。
After taking this course, you will be able to:
- Explain what singular homology groups are. 
- Explain why Euclidean spaces of different dimensions are not homeomorphic.
- Obtain the homology groups of various topological spaces.
卒業認定・学位授与の方針との関係（学部科目のみ）
履修上の注意　Course notes prerequisites
特になし
Nothing special
アクティブ・ラーニング科目　Teaching type（Active Learning）
-
-

準備学習・復習　Preparation and review
特に定めない
Not specified
成績評価方法　Performance grading policy
期末レポートにより評価する。
Evaluated by end-of-term report
学修成果の評価　Evaluation of academic achievement
・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

教科書　Textbooks/Readings
教科書の使用有無（有=Y , 無=N）　Textbook used(Y for yes, N for no)
N
書誌情報　Bibliographic information
-
MyKiTSのURL（教科書販売サイト）　URL for MyKiTS(textbook sales site)
教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/​​​

It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
​​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/

参考書・その他資料　Reference and other materials
「代数的トポロジー」枡田幹也著 (朝倉出版) 
「トポロジーの基礎 上」河澄響矢著 (東大出版会) 
「位相幾何学」 服部晶夫著 (岩波書店) 
「位相幾何学」 河田敬義編 (岩波書店)
 など。
"Algebraic topology (in Japanese)" by M. Masuda.
"Basics of Algebraic Topology I (in Japanese)" by N. Kawazumi. "Topology (in Japanese)" by A. Hattori.
"Topology (in Japanese)" by Y. Kawada.

授業計画　Class plan
1 位相幾何学とはどういう分野かを理解し、特異ホモロジーの基本的な発想を理解する。
  What is Topology? --The idea of singular homology theory--
2 位相空間の整数係数特異ホモロジー群の定義を理解する。
  The definition of singular homology groups with integer coefficients
3 整数係数特異ホモロジー群の位相不変性(関手性)について理解する。
  Topological invariance of singular homology groups.
4 写像のホモトピー、位相空間のホモトピー型について理解する。
  Homotopy of maps, homotopy types of topological spaces.
5 整数係数特異ホモロジー群のホモトピー不変性を理解する。
  Homotopy invariance of singular homology groups.
6 プリズム作用素とプリズム作用素の自然性を理解する。
  Prism operators and their naturality.
7 プリズム作用素を用いて、整数係数特異ホモロジー群のホモトピー不変性を証明する。
  Proof of homotopy invariance of singular homology groups using prism operators.
8 ホモロジー代数の簡単な部分を準備する。
  Basics of homological algebra.
9 位相空間対の整数係数特異ホモロジー群と、その完全系列を理解し、基本的な例を扱う。 
  Homology groups of a pair of topological spaces, and the long exact sequence of homology groups.
10 切除定理とマイヤー・ヴィートリスの完全系列、簡約ホモロジー群を理解する。
  Excision theorem and the Meyer-Vietoris exact sequence.
11 整数係数特異ホモロジー群の計算例を扱う。
  Using the theory in some cases.
12 CW複体のホモロジー群の定義を理解する。
  Homology of CW-complex.
13 CW複体のホモロジー群と特異ホモロジー群の同等性を理解する。
  The equivalence of singular homology and CW-complex homology.
14 CW複体のホモロジー群の計算例を扱う。
  Obtaining the homology groups of some CW-complexes.
15 一般係数のホモロジー群、ホモロジー群の普遍係数定理、Kunnethの公式を理解する。
  Homology groups with general coefficients, the universal coefficient theorem for homology groups, and Kunneth's formula.

担当教員の実務経験とそれを活かした教育内容　Work experience of the instructor
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教育用ソフトウェア　Educational software
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備考　Remarks

授業でのBYOD PCの利用有無　Whether or not students may use BYOD PCs in class
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授業での仮想PCの利用有無　Whether or not students may use a virtual PC in class
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