位相幾何学（二） 旧：位相幾何学（二）

Algebraic Topology 2

991BB52

11MAGEO508

大場　清

Kiyoshi OHBA

2026年度後期

2026年度

②Second semester

月曜2限

Monday 2nd Period　

理学研究科　数学専攻

Department of Mathematics, Graduate School of Science

2.00単位

講義

Lecture

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① [対面]対面授業/ [On-site] On-site class

位相幾何学特論Aに引き続き特異ホモロジー理論の解説を行う．位相幾何学特論Aでは整数係数の特異ホモロジー群を中心に扱ったが，位相幾何学特論Bでは，単項イデアル整域上の加群を中心に一般係数の特異ホモロジー群と特異コホモロジー群を扱う．そしてクロス積やカップ積やキャップ積を導入し， Kunneth の公式，普遍係数定理，位相多様体の向きやポアンカレ双対定理などを解説する．

This course continues the study of singular homology theory developed in Advanced Topology A. In the preceding course, we focused primarily on singular homology groups with integer coefficients. In Advanced Topology B, we extend the theory to singular homology and singular cohomology with more general coefficients, with particular emphasis on modules over principal ideal domains.

We introduce the cross product, cup product, and cap product, and study their fundamental properties. Building on these constructions, we discuss the Künneth formula and the Universal Coefficient Theorem, as well as the orientation of topological manifolds and the Poincaré duality theorem.

位相空間に対して，整数係数の特異ホモロジー群だけではなく，係数を一般係数へ拡張し，特異コホモロジー群も導入することにより，位相空間がより豊かな代数的な対象に対応していることを理解し，さらなる理論への確かな基盤を整えることを目的とする．

The aim of this course is to develop a deeper understanding that a topological space corresponds to a richer algebraic structure by extending singular homology and cohomology from integer coefficients to more general coefficient systems. Through this approach, the course seeks to establish a solid foundation for further theories built upon singular homology and cohomology.

一般係数の特異ホモロジー群，特異コホモロジー群が如何なるものか，クロス積やカップ積やキャップ積が如何なるものか，位相多様体の向きが如何なるものかについて説明できるようになること，そして，Kunnethの公式，普遍係数定理，ポアンカレの双対定理を活用できるようになること等を到達目標とする．

The learning objectives of this course include being able to explain the singular homology and singular cohomology groups with general coefficients, understand the cross product, cup product, and cap product, and describe the orientation of topological manifolds. Additionally, students should be able to apply the Künneth formula, the Universal Coefficient Theorem, and the Poincaré duality theorem.

前期開講の位相幾何学特論Aを履修していることが望ましい．また，環や加群の基礎知識を有していることが望ましい．

It is recommended that students have completed Advanced Topology A offered in the first semester. Additionally, a basic knowledge of rings and modules is desirable.

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特に定めない

Not specified

期末レポートにより評価する。

Evaluated by end-of-term report
                                      

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

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教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/​​​

It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
​​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/

「トポロジーの基礎 下」河澄 響矢 著 (東京大学出版会)
「位相幾何学」服部晶夫 著 (岩波書店)
「位相幾何学」河田敬義 編 (岩波書店)
「Algebraic Topology」 Allen Hatcher著 (Hatcher のHP)
など

"Basics of Algebraic Topology I (in Japanese)" by N. Kawazumi.
"Topology (in Japanese)" by A. Hattori.
"Topology (in Japanese)" by Y. Kawada.
"Algebraic Topology (in English)" by A. Hatcher.
                                                           

1　 一般の加群を係数に持つ特異ホモロジー群の定義を理解する．
2　特異ホモロジー群に関する普遍係数定理の内容を理解する．
3　ホモロジー群における普遍係数定理の証明を理解する．
4　一般の加群を係数に持つ特異ホモロジー群の基本的な性質を理解する．
5　一般の加群を係数に持つ特異コホモロジー群の定義を理解する．
6　コホモロジー群における普遍係数定理の内容と証明を理解する．
7　ホモロジー群とコホモロジー群の間の普遍係数定理の内容と証明を理解する．
8　一般の加群を係数に持つ特異コホモロジー群の基本的な性質を理解する．
9　ホモロジー群，コホモロジー群それぞれにおけるクロス積を理解する．
10　コホモロジー群のカップ積を理解する．
11　コホモロジー群とホモロジー群の間のキャップ積を理解する．
12　Kunnethの公式を理解し，具体的な直積空間の（コ）ホモロジー群を求める．
13　位相多様体の向きについて理解する．
14　ポアンカレの双対定理の内容を理解する．
15　ポアンカレの双対定理の証明を理解する．

１．Be able to explain the definition of singular homology groups with coefficients in general modules.

２．Be able to describe the statement of the Universal Coefficient Theorem for singular homology groups.

３．Be able to explain the proof of the Universal Coefficient Theorem for homology groups.

４．Be able to describe the basic properties of singular homology groups with coefficients in general modules.

５．Be able to explain the definition of singular cohomology groups with coefficients in general modules.

６．Be able to describe and explain both the statement and proof of the Universal Coefficient Theorem for cohomology groups.

７．Be able to describe and explain the statement and proof of the Universal Coefficient Theorem relating homology and cohomology groups.

８．Be able to describe the basic properties of singular cohomology groups with coefficients in general modules.

９．Be able to explain the cross product in both homology and cohomology groups.

10．Be able to explain the cup product in cohomology groups.

11．Be able to explain the cap product between cohomology and homology groups.

12．Be able to explain the Künneth formula and compute and describe the (co)homology groups of specific product spaces.

13．Be able to describe the concept of orientation of topological manifolds.

14．Be able to describe the statement of the Poincaré duality theorem.

15．Be able to explain the proof of the Poincaré duality theorem.

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