マテリアル計算科学

Computational Approach for MaterialsEngineering

9982503

82MSCOM303

望月　泰英

Yasuhide Mochizuki

2026年度前期

2026年度

①First semester

水曜1限

Wednesday 1st period

先進工学部　マテリアル創成工学科

Department of Materials Science and Technology, Faculty of Advanced Engineering

2.00単位

講義　Lecture

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① [対面]対面授業/ [On-site] On-site class

近年、材料工学において、計算科学を用いた新物質・新材料探索の研究、物性の起源を見出す研究などが盛んに行われている。実験研究者であっても、第一原理計算を実施することが多くなってきている。
本講義では、主に２つの部分によって構成される：
In recent years, computational science has played an increasingly important role in materials science and engineering, particularly in the exploration of new materials and the elucidation of the origins of material properties. Nowadays, experimental researchers are now frequently required to perform first-principles calculations.
This course consists of two main parts: in the first half of the course, fundamental concepts of quantum mechanics will be reviewed, followed by a systematic discussion of the physical insights that can be obtained from solutions of the Schrödinger equation. After introducing the basic theoretical framework required for ab initio calculations, namely, theoretical calculations that do not rely on empirical parameters, students will perform simple practical calculations of electronic and vibrational energy levels of molecules using Python-based quantum chemistry modules such as PySCF and WEB-based Molcalc. In the second half of the course, theoretical concepts applicable to both molecules and solids are introduced. Covalent bonding will be first explained through the secular equation, and students will learn, using mathematical expressions, how covalent and ionic bonding coexist in chemical bonds. By combining theoretical background with practical computational results, students will gain an understanding of chemical trends governing the physical properties of molecules and solids.

学科のカリキュラムおよびディプロマ・ポリシーに定める「 『既存の工学の枠を超えて、自由な発想で基礎科学の融合と展開を図り、産業の発展に寄与する新しい材料と新しい工学を創出する』という材料工学の理念に基づいた、 『材料工学の専を基盤として社会に貢献するクリエイティブな人材の育成』という教育目的」に沿って、第一原理計算の背後にある基礎理論を大まかに理解すること、第一原理計算結果から抜き出せる本質がなんなのか？をある程度理解し、分子や固体の物性の傾向を予測できるようになることを目的とする。どんな元素をどのように並べたら、どんな性質が出てくるのか？を、演繹的に理解する喜びを知る。

The material stipulated in the curriculum and diploma policy of the department, "Beyond the existing framework of engineering, we will integrate and develop basic science with free ideas and create new materials and new engineering that contribute to the development of industry." In line with the educational purpose of "cultivating creative human resources who contribute to society based on the specialty of materials engineering", which is based on the philosophy of material engineering, the objectives of this course are:

• To acquire a broad understanding of the fundamental theories underlying first-principles calculations
• To understand what essential physical insights can be extracted from computational results
• To develop the ability to predict trends in the physical properties of molecules and solids

Through deductive reasoning, students will experience the intellectual satisfaction of understanding how specific material properties emerge from particular combinations and arrangements of elements.

学部２年で学んだ、材料の化学１、量子力学、分子科学をベースにして、原子という粒子の羅列から創られる物性を計算科学により理解できることを実感する。

Building upon knowledge acquired in second-year undergraduate courses such as Chemistry of Materials I, Quantum Mechanics, and Molecular Science, students will gain a brief understanding of how physical properties emerge from assemblies of atoms through computational science.

リンク先の [評価項目と科目の対応一覧]から確認できます（学部対象）。
履修登録の際に参照ください。
​You can check this from “Correspondence table between grading items and subjects” by following the link(for departments).
https://www.tus.ac.jp/fd/ict_tusrubric/​​​

学習の効率及び理解の向上のため、「材料の化学１」「量子力学」「分子科学」の履修を薦める。前期の「固体物理学１」と、後期の「固体物理学２」を履修する上でベースとなる知見が本講義で得られる。

As noted above, for effective learning and deeper understanding, prior completion of the following courses is recommended: Chemistry of Materials I, Quantum Mechanics, and Molecular Science. This course provides foundational knowledge necessary for Solid-State Physics I (spring semester) and Solid-State Physics II (fall semester).

課題に対する作文　Essay／小テストの実施　Quiz type test

手計算とプログラミング演習問題の実施。

As active learning components, manual calculations and programming-based exercise problems will be performed.

＊ ２年前期の量子力学の内容や、教科書に登場する標準的な量子力学をある程度理解した前提で量子力学の復習を実施する。
＊ 高校数学で学んだ微分積分、学部１年の時に学んだ偏微分やガウス関数の積分、極座標系の扱いなど、かなり数式が出てくるため、必要な数学に関しては復習する。
＊ 各自のPCにpythonが実行できる環境を整えておく。
＊ 授業中に出題される演習問題を必ず解き、授業終了時に提出する。

＊ Students are expected to have a basic understanding of standard quantum mechanics covered in second-year courses before the review sessions.
＊ Since the course involves extensive mathematical expressions, students should review calculus (differentiation and integration), partial derivatives, Gaussian integrals, and polar coordinates, which are covered in high school mathematics and first-year undergraduate courses.
＊ Students must prepare a personal computer environment capable of running Python.
＊ All exercise problems assigned during class must be completed and submitted by the end of each session.

演習問題への解答と、最終レポートの結果をもとに、総合的に成績を評価する。

Grades will be determined comprehensively based on performance on exercise problems and final report.

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

N

教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/​​​

It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
​​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/

「量子化学（上巻）」　原田 義也 (著)
「新しい量子化学: 電子構造の理論入門 (上)」　A. Szabo (著), N. S.Ostlund (著)
「固体の電子構造と化学」　P. A. Cox (著)
「原子・分子の密度汎関数法」　R. G. Parr (著), W. Yang (著)
A. Szabo and N. S. Ostlund, Modern Quantum Chemistry: Introduction to Advanced Electronic Structure Theory (Dover Publications).
P. A. Cox, The Electronic Structure and Chemistry of Solids (Oxford University Press).
R. G. Parr and W. Yang, Density-Functional Theory of Atoms and Molecules (Oxford University Press).

全対面授業回の受講を原則とします。尚、成績評価点は「成績評価方法」に従います。

第1回　マテリアルに応用される計算科学と求まる物理量
　内容：分子や固体における第一原理計算、古典的・量子的分子動力学計算、モンテカルロシミュレーション、有限要素法、電磁場シミュレーション、といったものがある。こんなこともできるのか！といったことを最初に認知して頂く。分子や固体において、どのような元素をどのように並べたら、どんな物性が得られるのか？という疑問を常に持ち、考えることが研究に直結することを理解する。

第2回　量子力学の復習
　内容：水素原子のSchrödinger方程式の解から分かることである波動関数とエネルギーだけでなく、軌道別半径の期待値、水素原子1s軌道同士の重なり積分について紹介する。極座標系に慣れていない学生も多いと思われるため、最初、極座標系に関する簡易な説明・演習も行う。極座標系の波動関数を図示するpython scriptを提供する。

第3回　変分原理
　内容：多体粒子系における厳密なSchrödinger方程式の解を求めることは不可能であることを伝え、そのもっともらしい波動関数とエネルギーを求める際に使われる基礎理論が、解析力学で出てくる変分原理であることを伝える。

第4回　摂動論
　内容：多体粒子系における厳密なエネルギーを求めることは、数式上は不可能であるため、そのもっともらしいエネルギーを求める別の方法として、摂動法がある。1次摂動までの数式を丁寧に導出したのち、簡略な演習を行う。

第5回　1s軌道の重なり積分とその計算
　内容：水素原子の1s軌道同士の重なり積分の計算を行うため、楕円極座標系を導入し、積分計算を実施する。また、Gauss関数の積分に関する復習を実施したのち、1s軌道を現すもっともらしい波動関数（試行関数）STO-1Gの導出も行う。ソフトウェアパッケージGAUSSIANやGAMESSで用いられる最も簡易な試行関数STO-3Gについても紹介する。

第6回　Schrödinger方程式の近似解の求め方と厳密解との比較
　内容：水素原子の1s軌道のエネルギーと波動関数をGauss関数による近似解を求め、厳密解との比較を行う。この際、量子化学計算用のpython moduleであるPySCFを用いて、演習を行いながら、理解を深めていく。

第7回　多電子原子のエネルギー準位計算
　内容：最も単純なHe原子について、変分原理と摂動法を用いて、Heの1s軌道のエネルギー準位を計算する。この際、量子化学計算用のpython moduleであるPySCFを用いて、演習を行いながら、理解を深めていく。

第8回　Born-Oppenheimer近似とエネルギー計算
　内容：分子においても固体においても、エネルギー計算の大原則になっているBorn-Oppenheimer近似を理解する。ここも数式で丁寧に説明する。

第９回　Pauliの排他則とSlater行列式：交換エネルギーの登場
　内容：電子が２つ以上になると、Pauliの排他則を組み込んだ波動関数におけるエネルギー計算では、交換エネルギーというものが出てくることを理解する。この際、余談として、d軌道の分裂の話と、ハイスピン・ロースピンの話もする。

第10回　Molcalcを用いた分子計算の演習
　内容：WEBベースで公開されているMolcalc（公開ソフトウェアGAMESSを用いているもので、基底はSTO-3G）を用いて、電子エネルギー準位、電子の波動関数、振動準位を計算する。H, H₂, He, O₂, C₆H₆などについて計算し、考察する授業を行う。ここでは、様々な分子の計算結果について、まずは各自の学生に触れてもらい、親近感を感じてもらった後に、その後に続く理論背景を理解した上で、再度計算結果について考えてもらう。

第11回　永年方程式と共有結合
　内容：はじめに、材料の化学１で学んだ内容の復習を行い、二原子分子の例（H2, N2, O2, F2）を紹介する。重なり積分に加えて、共鳴積分という概念を紹介する。化学結合において、共有結合とイオン結合が混在することを数式から理解する。

第12回　原子軌道の対称性と共有結合、点群と指標表
　内容：量子化学計算を実施せずとも、原子軌道の対称性から原子間の電子軌道が混成（共有結合）するかどうかを判定できることを示す。応用例として、二原子分子、H2O、NH3を挙げる。特にH2OとNH3においては、点群や指標表（キャラクターテイブル）を紹介したのち、それらを用いた対称性の計算手順を丁寧に紹介する。

第13回　Madelungエネルギー
　内容：固体になった途端、第一近接原子、第二近接原子と、多くの原子が周期的に並ぶようになる。固体内の静電相互作用を表現するMadelungポテンシャルを紹介し、1次元イオン結晶におけるMadelung定数を導出する。Materials Informatnicsを牽引しているpython moduleであるpymatgenを用いた、Madelungエネルギーの計算についても触れる。余力があれば、Van der Waalsエネルギーについても紹介する。

第14回　イオン結晶における電子状態
　内容：なぜカチオンの軌道が伝導帯を構成し、アニオンの軌道が価電子帯を形成するのか？について、NaClの例を用いて丁寧に説明する。Naの最外殻電子は3s軌道、Clの最外殻電子は3p軌道だから、3sの方が下で3pの方が上に来そうなのに、なぜ？という問題提起から出発する。その後、固体内での静電ポテンシャルであるMadelungポテンシャルがイオン結晶におけるバンドギャップと相関があることを理解する。

第15回　総括
　内容：第1回から14回までの授業内容を総括し、最終レポート課題を伝える。

Lecture 1: Computational Science Applied to Materials and Target Physical Quantities
Overview of first-principles calculations for molecules and solids, classical and quantum molecular dynamics, Monte Carlo simulations, finite element methods, and electromagnetic field simulations. Students will be introduced to the wide range of problems that computational science can address and will be expected to consider how the atomic arrangements and physical properties are correlated, which will eventually lead to research questions.

Lecture 2: Review of Quantum Mechanics
Discussion of insights obtained from solutions of the Schrödinger equation for the hydrogen atom, including wavefunctions, energy levels, expectation values of orbital radii, and overlap integrals between 1s orbitals. An introduction to polar coordinates is provided, along with Python scripts for visualizing wavefunctions.

Lecture 3: Variational Principle
Student will learn the fact that it is impossible to gain exact solutions of the Schrödinger equation for many-particle systems. They will also learn the variational principle as a fundamental theoretical tool for obtaining approximate wavefunctions and energies. The method of Lagrange multipliers is reviewed in detail.

Lecture 4: Perturbation Theory
Introduction to perturbation theory as an alternative approach for approximating energies in many-body systems. The derivation of first-order perturbation formulas is presented, followed by practice exercises.

Lecture 5: Overlap Integrals of 1s Orbitals and Their Evaluation
Introduction of elliptic coordinates to evaluate overlap integrals between hydrogen 1s orbitals. Gaussian integrals are reviewed, and the derivation of STO-1G trial wavefunctions is presented. STO-3G basis functions used in GAUSSIAN and GAMESS are also introduced.

Lecture 6: Approximate Solutions of the Schrödinger Equation and Comparison with Exact Solutions
Gaussian-based approximate solutions for the hydrogen 1s orbital are obtained and compared with exact solutions. Exercises are conducted using the Python quantum chemistry module PySCF.

Lecture 7: Energy Level Calculations of Multi-Electron Atoms
We will calculate the energy of the helium atom using the variational principle and perturbation theory. Practical exercises are performed using PySCF.

Lecture 8: Born–Oppenheimer Approximation and Energy Calculations
Detailed explanation of the Born–Oppenheimer approximation, the fundamental principle underlying energy calculations in both molecular and solid-state systems.

Lecture 9: Pauli Exclusion Principle and Slater Determinants — Emergence of Exchange Energy
Explanation of exchange energy arising in systems with more than one electron due to the Pauli exclusion principle. Related topics such as d-orbital splitting and high-spin vs low-spin configurations will also be discussed.

Lecture 10: Molecular Calculations Using Molcalc
Hands-on exercises using the web-based Molcalc (based on GAMESS with STO-3G basis sets) to calculate electronic energy levels, wavefunctions, and vibrational levels for molecules such as H, H₂, He, O₂, and C₆H₆.

Lecture 11: Secular Equation and Covalent Bonding
Review of material from Chemistry of Materials I and discussion of diatomic molecules (H₂, N₂, O₂, F₂). Introduction of resonance integrals and mathematical understanding of the coexistence of covalent and ionic bonding.

Lecture 12: Symmetry of Atomic Orbitals, Covalent Bonding, Point Groups, and Character Tables
Demonstration of how orbital symmetry alone can determine whether atomic orbitals hybridize without performing quantum chemical calculations. Applications include diatomic molecules, H₂O, and NH₃, with detailed explanations of point groups and character tables.

Lecture 13: Madelung Energy
Introduction of the Madelung potential describing electrostatic interactions in periodic solids. Derivation of the Madelung constant for one-dimensional ionic crystals and demonstration of Madelung energy calculations using the Python module pymatgen. Van der Waals interactions may also be introduced if time permits.

Lecture 14: Electronic States in Ionic Crystals
Explanation of why cation orbitals form conduction bands while anion orbitals form valence bands, using NaCl as an example. The relationship between Madelung potential and band gaps in ionic crystals is discussed.

Lecture 15: Summary
Comprehensive review of lectures 1–14 and explanation of the final report assignment.

自身の研究に実用してきた理論と経験をもとに、わかりやすく理論背景を伝え、実践的な内容も教育する。

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Python（PySCF, Pymatgen），Molcalc

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