複素関数論２

Complex Analysis 2

9914612

14MAANA304

吉井　健太郎

Kentaro YOSHII

2026年度後期

2026年度

②Second semester

金曜1限

Friday 1st period

理学部第一部　応用数学科

Department of Applied Mathematics, Faculty of Science Division Ⅰ

2.00単位

講義

Lecture

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① [対面]対面授業/ [On-site] On-site class

複素関数の微積分, 特に複素積分について学習する．

I. まずはCauchyの積分定理の証明とそれに関連する定理について学ぶ.
II. 次に関連する応用として留数定理などいくつかの定理について学ぶ.
III. また複素関数を用いた実関数の定積分の計算への応用について学ぶ.

本学部のディプロマポリシーに定める「基礎学力と専門知識」並びに本学科のディプロマポリシーに定める「基礎知識の習得と学問領域の体系的かつ総合的理解」の素養を目的とする.

1. Cauchyの積分定理とCauchyの積分公式を理解する.
2. 正則性と解析性の同値性を理解する.
3. 留数定理を利用して定積分の計算ができる.

リンク先の [評価項目と科目の対応一覧]から確認できます（学部対象）。
履修登録の際に参照ください。
​You can check this from “Correspondence table between grading items and subjects” by following the link(for departments).
https://www.tus.ac.jp/fd/ict_tusrubric/​​​

2年次までの解析学および複素関数論１の内容をよく理解しているとよい. また, 集合と位相についての初歩的な知識(論理記号の扱いやユークリッド空間における開集合・閉集合の定義と性質など)を身につけていることが望ましい.
また, 本科目はすべての講義回(15回)を対面講義として実施する対面授業科目である. 履修者はすべての講義回に対面で受講することを原則とし, 半数(8回)以上の講義回に対面で受講することが求められる.

課題に対する作文　Essay

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授業の進度に合わせてLETUS上で資料を公開し小課題(レポート課題)を出題する.
目安としては各回につき実質4時間程度, 資料を活用して復習を中心に学習すると良い.
また, 小課題については一度取り組んでおしまいとはせず, 反復して取り組むことが望ましい.

到達度評価期間に行う試験の結果を基に, 第14回までの授業参加状況(小課題の取り組み等)を考慮して評価する.
出席・欠席・遅刻・早退の状況を理由とした加点・減点は行わない.
評価試験・小課題の解説は授業時間内に適宜行う.

具体的には
A=試験の結果(0〜1)
B=授業参加状況(0〜0.2)
に対して
(A+B-AB)×100
の整数部分を成績評価とする.

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

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教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/​​​

It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
​​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/

講義内にてテキストを使用することはないが, 主に以下のテキストの内容を参考に講義を構成している:
1．複素関数入門　神保道夫　岩波書店 2003年 ISBN：978-4-00-006874-1
2．複素解析　高橋礼二　東京大学出版会 1990年 ISBN：978-4-13-062106-9
3．関数論（第２版）吉田洋一　岩波書店 1965年 絶版(オンデマンド出版は2015年 ISBN：9784007302435)
(著者名50音順)

この授業の履修者は, 全授業回数（15回）のうち半数（8回）以上の回を対面で受講することが求められる. 詳しくは履修上の注意を見よ.

I. Cauchyの積分定理
1. 複素関数の線積分について理解する.
2. 原始関数が存在する場合のCauchyの積分定理について理解する.
3. 凸領域におけるCauchyの積分定理について理解する.
4. 円周を積分路とするCauchyの積分公式, 正則性と解析性の同値性について理解する.
5. Moreraの定理について理解する.
6. Cauchyの不等式・Liouvilleの定理について理解する.
7. ホモトピー同値・ホモロジー同値の概念について理解する.
8. 0にホモロジー同値な閉曲線に対するCauchyの積分定理について理解する.

II. Cauchyの積分定理の応用・留数の定理
9. 平均値の性質・最大値原理・Schwarzの補題について理解する.
10. 円環領域におけるLaurent展開について理解する.
11. 孤立特異点の分類について理解する.
12. 留数定理について理解する.
13. 偏角原理とRouchéの定理について理解する.
14. 留数定理の定積分への応用について理解する.

III. 到達度の確認と解説
15. これまでの学習内容の習得度の確認と解説を行う.

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