幾何学特論１ （幾何学特論１）

Advanced Geometry 1

9911G22

11MAGEO403

小池　直之

Naoyuki Koike

2026年度後期

2026年度

②Second semester

水曜4限

Wednesday 4th Period

理学部第一部　数学科

Department of Mathematics, Faculty of Science Division Ⅰ

2.00単位

講義

Lecture

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① [対面]対面授業/ [On-site] On-site class

７つのミレニアム懸賞問題の一つである3次元ポアンカレ予想が，2002年にペレルマンによって解決されました。その解決に用いられたのがリッチ流方程式とよばれるある種の擬放物型非線形発展方程式の解(この解はリッチ流とよばれるリーマン計量の1パラメーター族)の研究です。一方，平均曲率流方程式とよばれるリッチ流方程式と同種の擬放物型非線形偏微分方程式があり、この解はある与えられた多様体Mからある与えられたより次元の高いリーマン多様体(N,g)へのはめ込みの1パラメーター族です。各はめ込みの像は(N,g)内のリーマン部分多様体とよばれる図形を与えており、その1パラメーター族は(N,g)内の図形の1パラメーター族を与えることになり、この族は体積汎関数とよばれる汎関数の(-1)倍の勾配流とみなせます。これらの研究は、幾何学的変分法とよばれる研究分野（いわゆる幾何解析という分野）に属します。この講義では、微分幾何学の視点から平均曲率流を学ぶことを目標とする。

微分幾何学の視点から、平均曲率流を学ぶことを目的とする。

微分幾何学の視点から、平均曲率流を学ぶことを目標とする。

リンク先の [評価項目と科目の対応一覧]から確認できます（学部対象）。
履修登録の際に参照ください。
​You can check this from “Correspondence table between grading items and subjects” by following the link(for departments).
https://www.tus.ac.jp/fd/ict_tusrubric/​​​

毎回、対面授業に出席してください。

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毎回、対面授業(90分)に参加し、次回までに板書した内容を復習しておいてください。

最後に、レポート課題を出題します。そのレポ−ト課題と出席率により成績を評価します。

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

Y

教科書：平均曲率流ー部分多様体の時間発展ー（小池直之著，共立出版）

教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/​​​

It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
​​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/

・参考書：理論物理に潜む部分多様体 ー 一般相対性理論・ゲージ理論との関わり ー　(共立出版)
・参考書：積分公式で啓くベクトル解析と微分幾何学〜ストークスの定理から変分公式まで〜（小池直之著，共立出版）

1 平均曲率流とは何か　
   平均曲率流とは、曲線・曲面をはじめとするリ−マン部分多様体のリーゾナブルな時間発展であることを説明する。
2 体積汎関数と平均曲率流
    体積汎関数の(-1)倍の勾配流が平均曲率流であることが、体積汎関数の第１変分公式から導かれることを説明する。
3 平均曲率流とリッチ流
    平均曲率流とポアンカレ予想の解決に用いられたリッチ流が類似した発展方程式であることを説明する．
4 リーマン部分多様体論I
    リーマン計量・リーマン接続・曲率テンソルについて説明する。
5 リーマン部分多様体論II
    リーマン部分多様体を定義し、ガウスの公式，ワインガルテンの公式，ガウスの方程式，コダッチの方程式，
    リッチの方程式について説明する。さらに、，主曲率・主曲率ベクトルを定義し，リーマン部分多様体の
     強凸性を定義する。
6 平均曲率流方程式の解の存在性・一意性
     はめ込みの発展としての平均曲率流方程式の解の存在性・一意性を証明する。
7 平均曲率流に沿う幾何学量の発展I
     平均曲率流に沿う基本的な幾何学量の発展方程式を導く。
8 平均曲率流に沿う幾何学量の発展II
     前回の続き、平均曲率流に沿う基本的な幾何学量の発展方程式を導く。
9 ユークリッド空間内の閉超曲面を発する平均曲率流の類別：
     ユークリッド空間内の閉超曲面を発する平均曲率流の類別について説明する。
10 ユークリッド空間内のI型の特異点を生ずる平均曲率流(その1)：
     ユークリッド空間内の閉超曲面を発する平均曲率流でI型の特異点を生ずるものについて説明する。
11 ユークリッド空間内のII型の特異点を生ずる平均曲率流：
      ユークリッド空間内の閉超曲面を発する平均曲率流でII型の特異点を生ずるものについて説明する。
12 体積を保存する平均曲率・表面積を保存する平均曲率流(その1)
       体積を保存する平均曲率流、及び、表面積を保存する平均曲率流について説明する。
13 体積を保存する平均曲率流・表面積を保存する平均曲率流(その2)
       体積を保存する平均曲率流、及び、表面積を保存する平均曲率流について説明する。
14 逆平均曲率流とペンローズ予想
       逆平均曲率流の定義を述べ、逆平均曲率流が一般相対性理論におけるペンローズ予想の解決にどのように
       用いられるか説明する。
15 本科目内容に関する到達度の確認と解説
       本科目内容に関する到達度(達成度、修得度)の確認と内容に関しての解説を行う。

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