高等数学教育（二） 旧：高等数学教育（二）

Higher Mathematics 2

9917C04

17MECME502

田所　勇樹

Yuuki Tadokoro

2026年度前期

2026年度

①First semester

火曜4限

4th period on Tuesday

理学研究科　科学教育専攻

Department of Mathematics and Science Education, Graduate School of Science

2.00単位

講義

Lecture

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① [対面]対面授業/ [On-site] On-site class

2000年以上も昔に，ユークリッドによって13巻からなる『原論』が作成された.この本は現在の数学の基礎をなすと言ってもよい．その構成は，公理系によってなされた．公理，すなわち議論なく認めることがら，から得られる世界が公理系である．ユークリッド幾何学は数学教育でも重要視されている．この原論にあった平行線公理は，他の公理などから導かれるのかと2000年近く議論を巻き起こしてきた．しかし，1800年代にこの公理を使わずに幾何学が構築できることを，ボヤイ，ロバチェフスキーが独立に発見し，それは(しばらく後に)非ユークリッド幾何学と認知された．
数学を深く理解するために，非ユークリッド幾何学の一つである双曲幾何学を題材として，予備知識をさほど仮定しない現代数学の入門について学ぶ．また，KeTCindyを初めとする図を作成するソフトウェアをいくつか学び，各受講者が「理数探求」の教材案を作成し，プレゼンテーションを行う．
More than 2000 years ago, Euclid created "Elements". This book can be said to form the foundation of modern mathematics. Its structure is based on an axiomatic system. Euclidean geometry is also highly valued in mathematical education.
The parallel postulate in "Elements" has sparked debate for nearly 2000 years, questioning whether it could be derived from other axioms. However, in the 1800s, Bolyai and Lobachevsky independently discovered that geometry could be constructed without using this postulate, and it was recognized (some time later) as non-Euclidean geometry.
To gain a deeper understanding of mathematics, we will study hyperbolic geometry, as an introduction to modern mathematics. Additionally, we will learn about software for creating figures, such as KeTCindy, and each participant will create teaching materials for "Inquiry-Based Study of Science and Mathematics" and give presentations.

数学教員になる上で必要な数学的素養を習得すると同時に，図を用いた発表方法について学ぶ．
We acquire the mathematical knowledge necessary to become a mathematics teacher, and also learn presentation techniques using figures.

双曲幾何学を通じて，ユークリッド幾何学をより深く理解し，現代数学の基礎を学ぶ．各受講者が「理数探求」の教材案を作成し，プレゼンテーションを行う．
By studying hyperbolic geometry, we will understand Euclidean geometry and learn the foundations of modern mathematics. Each participant will create teaching materials for "Inquiry-Based Study of Science and Mathematics" and give presentations.

履修申告を予定している者は第１回目の講義は必ず出席すること．
Students must attend the lecture of the first time.

課題に対する作文　Essay／プレゼンテーション　Presentation

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準備学習：各回の授業前に１時間程度，内容に対応する参考書の部分を読んでおくとよい．
復習：各回の講義内容を３時間程度復習し，各回の授業テーマについて説明できるようにしておくこと．
Preliminary study: Read the reference book that corresponds to the content for about an hour before each lesson.
Review: Review the contents of each lecture about 3 hours and make it possible to explain about each lesson theme.

レポート（教材案など）やプレゼンテーションの完成度により，到達目標をどれだけ達成したか判断し評価する．定期試験は行わない．
出席は履修の前提であるため，欠席が多ければ単位を取得できなくなる場合がある．また，出席状況で加点されることもない．
To be evaluated in taking account of the presentation's performance level and positiveness of participation in discussion.

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

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教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/​​​

It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
​​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/

(1)『ユークリッド幾何から現代幾何へ』 小林昭七著，日本評論社，1990年発行、978-4535781764
(2)『双曲幾何学への招待: 複素数で視る』 谷口雅彦，奥村善英著，培風館，1996年発行，978-4563002428
(3)『曲面の幾何構造とモジュライ』 河野俊丈著，日本評論社，2023年発行，978-4535789739
(4)『数学セミナー 2024年4〜8月号』 日本評論社，2024年発行

(5)『［改訂第9版］LaTeX美文書作成入門』 奥村晴彦（）・黒木裕介（）著，技術評論社，2023年発行，978-4297138899 

授業計画
双曲幾何学をテーマにした場合を想定して記載しているが，受講者によっては柔軟にテーマを変更する．
１．ガイダンス
２．複素解析入門
３．３角形のモジュライ空間入門
４．トーラスのモジュライ空間入門
５．メビウス変換
６．双曲幾何学
７．双曲３角法
８．LaTeX入門
９．図表作成ソフト入門（１）
１０．図表作成ソフト入門（２）
１１．図表作成ソフト入門（３）
１２．理数探求の教材案作成（１）：概要
１３．理数探求の教材案作成（２）：準備
１４．理数探求の教材案作成（３）：プレゼンテーション
１５．まとめ
Lesson Plan
Although the theme is assumed to be hyperbolic geometry, it can be flexibly changed by the participants.
1. Guidance
2. Introduction to Complex Analysis
3. Introduction to the Moduli Space of Triangles
4. Introduction to the Moduli Space of the Tori
5. Mobius Transformations
6. Hyperbolic Geometry
7. Hyperbolic Trigonometry
8. Introduction to LaTeX
9. Introduction to Figure Creation Software (1)
10. Introduction to Figure Creation Software (2)
11. Introduction to Figure Creation Software (3)
12. Creation of Teaching Materials for "Inquiry-Based Study of Science and Mathematics" (1): Overview
13. Creation of Teaching Materials for "Inquiry-Based Study of Science and Mathematics" (2): Preparation
14. Creation of Teaching Materials for "Inquiry-Based Study of Science and Mathematics" (3): Presentation
15. Summary

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履修人数や履修者の状況によっては，内容を変更したり，講義形式をより実践的にゼミ形式で行う．
Depending on the number of students and their circumstances, the lesson plan may be changed, and the lecture format may be conducted in a more practical, seminar style.

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