解析学特論（一）（博士後期課程用）旧：解析学特論（一）

科目授業名称（和文）　Name of the subject/class (in Japanese)

科目授業名称（英文）　Name of the subject/class (in English)

Advanced Analysis 1 (Doctor)

授業コード　Class code

991BZ25

科目番号　Course number

11MAANA503

教員名

水上　雅昭

Instructor

Masaaki Mizukami

開講年度学期

2026年度前期

Year

2026年度

Semester

①First semester

曜日時限

火曜5限

Class hours

Tuesday 5th Period

開講学科・専攻　Department

理学研究科　数学専攻　

Department of Mathematics, Graduate School of Science

単位数　Course credit

2.00単位

授業の方法　Teaching method

講義

Lecture

外国語のみの科目（使用言語）　Course in only foreign languages (languages)

-

授業の主な実施形態　Main class format

⑦ [遠隔]オンライン授業（同期）/ [Remote]Online (synchronized remote)

概要　Description

関数空間は、解析学、特に微分方程式の研究において重要なものの1つである。前期の授業では、Lebesgue空間と (1次元の) Sobolev空間の定義とその性質について扱う。さらに、関数空間の活用として、楕円型方程式の解の存在や評価についても扱う。

Function spaces are one of the most important tools in the study of analysis, especially differential equations. In the first semester we will deal with the definition and properties of Lebesgue spaces and (one-dimensional) Sobolev spaces. In addition, as an application of function spaces, we also consider existence and properties of solutions to elliptic equations.

目的　Objectives

関数空間の性質を理解し、偏微分方程式の解析に活用できる。

Understand properties of function spaces and their applications.

到達目標　Outcomes

・Lebesgue空間やSobolev空間の定義や性質を理解する。
・関数空間を利用して、微分方程式の解の存在や評価を調べることができる。

- Understand the definition and properties of Lebesgue spaces and (one-dimensional) Sobolev spaces.
- Considering existence and estimates for solutions of differential equations.

卒業認定・学位授与の方針との関係（学部科目のみ）

履修上の注意　Course notes prerequisites

-

アクティブ・ラーニング科目　Teaching type（Active Learning）

課題に対する作文　Essay

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準備学習・復習　Preparation and review

ノートの見返しや毎回の課題を通して授業内容を復習すること。

Study the contents by checking your note and by making reports.

成績評価方法　Performance grading policy

大レポートへの取り組みによって評価する。

By large reports

学修成果の評価　Evaluation of academic achievement

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

教科書　Textbooks/Readings

教科書の使用有無（有=Y , 無=N）　Textbook used(Y for yes, N for no)

N

書誌情報　Bibliographic information

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MyKiTSのURL（教科書販売サイト）　URL for MyKiTS(textbook sales site)

教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/

It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/

参考書・その他資料　Reference and other materials

必要であれば随時紹介する.

Introduced as needed.

授業計画　Class plan

第1回 Lebesgue空間L^pの定義
第2回 Lebesgue空間の初等的性質
第3回 Lebesgue空間の性質1 (p>1 の場合)
第4回 Lebesgue空間の性質2 (p=1 の場合)
第5回 Lebesgue空間の性質3 (p=\infty の場合), 畳み込み
第6回畳み込みと正則化列
第7回 Fréchet-Kolmogorovの定理と応用
第8回弱微分の考え方とSobolev空間W^{1,p}の定義
第9回 Sobolev空間の性質
第10回拡張作用素, 稠密性
第11回埋め込み, 微分法則
第12回空間W^{1,p}_0の定義と性質
第13回楕円型方程式の解の存在と一意性
第14回最大値原理
第15回まとめ

1. Definition of the Lebesgue space L^p
2. Elementary properties of Lebesgue spaces
3. Properties of Lebesgue spaces (for the case that p>1)
4. Properties of Lebesgue spaces (for the cases that p= 1)
5. Properties of Lebesgue spaces (for the cases that p=\infty), Convolution
6. Convolution and mollifier
7. The Fréchet-Kolmogorov theorem and its application
8. Concept of weak derivative and definition of Sobolev space W^{1,p} (in one dimension)
9. Properties of Sobolev space
10. Extension operators and density
11. Embedding, derivative rules
12. Definition and properties of the space W^{1,p}_0
13. Existence and uniqueness of solutions to some elliptic equations
14 The maximum principle
15. Summary

担当教員の実務経験とそれを活かした教育内容　Work experience of the instructor

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教育用ソフトウェア　Educational software

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備考　Remarks

授業でのBYOD PCの利用有無　Whether or not students may use BYOD PCs in class

Y

授業での仮想PCの利用有無　Whether or not students may use a virtual PC in class

N

シラバス情報