微分幾何学特論（二） 旧：微分幾何学特論（二）

Advanced Differential Geometry 2

991BE52

11MAGEO506

小池　直之

Naoyuki Koike

2026年度後期

2026年度

②Second semester

水曜4限

Wednesday 4th Period

理学研究科　数学専攻

Department of Mathematics, Graduate School of Science

2.00単位

講義

Lecture

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① [対面]対面授業/ [On-site] On-site class

微分幾何学の視点から平均曲率流について学ぶ。
The purpose of this lecture is to study the mean curvature flow in aspect of the differential geometry.

微分幾何学の視点から、平均曲率流の基礎的内容及び発展的内容を学ぶことを目的とする。
The purpose of this lecture is to study the mean curvature flow in aspect of the differential geometry.

微分幾何学の視点から、平均曲率流の基礎的内容及び発展的内容を学ぶことを目標とする。
The purpose of this lecture is to study the mean curvature flow in aspect of the differential geometry.

毎週，対面授業(90分)に参加してください。
Please attend every lectures by zoom.

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毎週，前の週の授業の内容を復習した上で，授業に臨むようにする．
Please attend the lecture under reviewing the contnet of the lecture of the last week.

レポートにより成績を評価する
Performance grading is marked by reports.

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

Y

教科書：平均曲率流〜部分多様体の時間発展〜　（小池直之著，共立出版）

教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/​​​

It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
​​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/

参考書：理論物理に潜む部分多様体 ー 一般相対性理論・ゲージ理論との関わり ー　(小池直之著，共立出版)
参考書：積分公式で啓くベクトル解析と微分幾何学 ーストークスの定理から変分公式までー（小池直之著，共立出版）

1 平均曲率流とは何か　
   平均曲率流とは、曲線・曲面をはじめとするリ−マン部分多様体のリーゾナブルな時間発展であることを説明する。
2 体積汎関数と平均曲率流
    体積汎関数の(-1)倍の勾配流が平均曲率流であることが、体積汎関数の第１変分公式から導かれることを説明する。
3 平均曲率流とリッチ流
    平均曲率流とポアンカレ予想の解決に用いられたリッチ流が類似した発展方程式であることを説明する．
4 リーマン部分多様体論I
    リーマン計量・リーマン接続・曲率テンソルについて説明する。
5 リーマン部分多様体論II
    リーマン部分多様体を定義し、ガウスの公式，ワインガルテンの公式，ガウスの方程式，コダッチの方程式，
    リッチの方程式について説明する。さらに、，主曲率・主曲率ベクトルを定義し，リーマン部分多様体の
     強凸性を定義する。
6 平均曲率流方程式の解の存在性・一意性
     はめ込みの発展としての平均曲率流方程式の解の存在性・一意性を証明する。
7 平均曲率流に沿う幾何学量の発展I
     平均曲率流に沿う基本的な幾何学量の発展方程式を導く。
8 平均曲率流に沿う幾何学量の発展II
     前回の続き、平均曲率流に沿う基本的な幾何学量の発展方程式を導く。
9 ユークリッド空間内の閉超曲面を発する平均曲率流の類別：
     ユークリッド空間内の閉超曲面を発する平均曲率流の類別について説明する。
10 ユークリッド空間内のI型の特異点を生ずる平均曲率流(その1)：
     ユークリッド空間内の閉超曲面を発する平均曲率流でI型の特異点を生ずるものについて説明する。
11 ユークリッド空間内のII型の特異点を生ずる平均曲率流：
      ユークリッド空間内の閉超曲面を発する平均曲率流でII型の特異点を生ずるものについて説明する。
12 体積を保存する平均曲率・表面積を保存する平均曲率流(その1)
       体積を保存する平均曲率流、及び、表面積を保存する平均曲率流について説明する。
13 体積を保存する平均曲率流・表面積を保存する平均曲率流(その2)
       体積を保存する平均曲率流、及び、表面積を保存する平均曲率流について説明する。
14 逆平均曲率流とペンローズ予想
       逆平均曲率流の定義を述べ、逆平均曲率流が一般相対性理論におけるペンローズ予想の解決にどのように
       用いられるか説明する。
15 本科目内容に関する到達度の確認と解説
       本科目内容に関する到達度(達成度、修得度)の確認と内容に関しての解説を行う。

1 What is the mean curvature flow?
  We explain that the mean curvature flow is some reasonable time evolution of Riemannian submanifolds (for example, curves and surfaces etc.).
2 Volume functional and mean curvature flow
  We explain that the first variational formula derives the fact that the gradient flow of the $(-1)$-multiple of the volume functional  is the mean curvature fow.  
3 Mean curvature flow and Ricci flow
  We explain that the mean curvature flow and the Ricci flow are similar flows.
4 Riemannian submanifold theory I
  We state the definitions of a Riemannian metric, its Riemannian connection and its curvature tensor and basic facts for them.
5 Riemannian submanifold theory II
  We define a Riemannian submanifold and state the Gauss formula, the Weingarten formula and the Ricci formula.
6 Short time existence and the uniqueness of the mean curvature flow
  We prove short time existence and the uniqueness of the mean curvature flow.
7 Evolution equations for geometric quantities along the mean curvature flow I
  We derive the evolution equations for geometric quantities along the mean curvature flow.
8 Evolution equations for geometric quantities along the mean curvature flow II
  We derive the evolution equations for geometric quantities along the mean curvature flow.
9 Classification of the mean curvature flows starting from closed hypersurfaces in the Euclidean space
  We explain that the mean curvature flows starting from closed hypersurfaces in the Euclidean space are classified into three types.
10 The mean curvature flow in the Euclidean space arising type I singularity
  We explain the structure of type I singularity of the mean curvature flow in the Euclidean space.
11 The mean curvature flow in the Euclidean space arising type II singularity
  We explain the structure of type II singularity of the mean curvature flow in the Euclidean space.
12 Volume-preserving mean curvature flow・Area-pereserving mean curvature flow(Part I)
  We explain what kind of flow the volume-preserving mean curvature flow and the area-pereserving mean curvature flow are.
13 Volume-preserving mean curvature flow・Area-pereserving mean curvature flow(PartII)
  We derive the evolution equations for geometric quantities along the volume-preserving mean curvature flow and the area-pereserving mean curvature flow.  
  Also we state some results for these flows.
14 Inverse mean curvature flow and Penrose conjecture
  We define the inverse mean curvature flow and explain how Penrose conjecture in the general relativity was solved by using the inverse mean curvature flow.
15 Evolution for achievement and explanation
  We evolution the achievement of this lecture and explain.

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