ゲージ理論（二） 旧：ゲージ理論（二）

Gauge theory 2

991BB56

11MAGEO512

佐古　彰史

Akifumi Sako

2026年度後期

2026年度

②Second semester

金曜5限

5th Fri

理学研究科　数学専攻

Department of Mathematics, Graduate School of Science

2.00単位

講義

Lecture

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① [対面]対面授業/ [On-site] On-site class

幾何学の中でも，微積分を用いた幾何学である微分幾何学のやさしい入門と，その応用を学ぶ．
微分幾何学の中でゲージ理論，あるいはファイバー束の理論と呼ばれるものを学ぶことが目標になる．
すべての物理現象はある種のゲージ理論で記述されることが知られている．
現実の世界と数学の結びつきを知ることで数学に対する知的好奇心を喚起する．

パターン１：リーマン幾何について学び，その知識を応用して一般相対性理論を学ぶ。
パターン２：主束について学び，ゲージ理論（特にヤン＝ミルズ理論）を理解する。　

You will learn the basics of modern differential geometry and its applications.
You will be able to acquire gauge theory and fiber bundle theory.
It is known that all physical phenomena are described by some kinds of gauge theories.
Your intellectual curiosity about mathematics is roused by knowing the connection between the real world and mathematics.

Case 1: You will learn Riemannian geometry at the beginning, learn general relativity theory by applying its knowledge.
Case 2: After learning principal bundles, you will know the gauge theory.

接続の微分幾何、特にリーマン幾何学とゲージ理論を理解する

To understand connection theory in differential geometry, especially Riemannian geometry and gauge theory

微分幾何学の中でも基本的な概念である
ベクトル束と主束に対する接続や曲率の概念を理解し計算できるようになる。
それらの応用としてアインシュタイン方程式の球対称解，
またはヤンミルズ方程式の解（インスタントン）の構成法を理解する。
In differential geometry, you can understand the concept of connection and curvature of vector bundles and principal bundles and calculate them.
As those applications, you can understand how to construct a rotational symmetric solution of the Einstein equation or the composition method for solutions of the Yang-Mills equation.

ゲージ理論（A）を履修済みであることが望ましい。
物理については、特に予備知識を仮定しない。
It is desirable that you have completed Gauge Theory A.
Preliminary knowledge of physics is not assumed.

課題に対する作文　Essay

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講義の復習をすること．例題や，課題を自力で解くこと．
Review the lecture and solve examples and tasks by yourself.

レポート，到達度評価などを総合的に評価する。
出席は成績に考慮されない。
You are comprehensively evaluated by reports and others.
Your attendance is not taken into account.

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

Y

ゲージ理論・一般相対性理論のための 微分幾何入門  
佐古 彰史  (著)
出版社 ‏ : ‎ 森北出版 (2021/9/30)
ISBN-10 ‏ : ‎ 462707851X
ISBN-13 ‏ : ‎ 978-4627078512

教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/​​​

It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
​​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/

参考書として以下のものがあります．

（１）理論物理学のための幾何学とトポロジーI, II（中原幹夫 著）、I: 日本評論社、2018年発行、978-4535788060、II: ピアソンエデュケーション、2001年発行、978-4894714267
（２）接続の微分幾何とゲージ理論（小林昭七 著）、裳華房、1989年発行、978-4785310585


texts in Japanese

1 微分形式 ファイバー束について簡単な復習
2-3　ベクトル束の接続　ベクトル束の接続について説明できる。
4-5　ベクトル束の曲率ベクトル束の曲率について説明できる。　
6-8 　ゲージ理論の例

パターン１
9　　リーマン幾何１　　部分多様体について理解する。
10　　リーマン幾何２ 部分多様体の接続について理解する。
11　リーマン幾何３　　リーマン多様体の接続について説明できる。
12 リーマン幾何4 リーマン曲率テンソル、リッチテンソルなどが計算できる．
13　一般相対性理論1　アインシュタイン方程式が球対称な場合に解ける。
14 　一般相対性理論2　ブラックホールの性質を導くことができる。

パターン２
9　　Yang-Mills理論１　ゲージ対称性について理解する。
10　Yang-Mills理論２　最小作用の原理でYang-Mills方程式を導出できる。
11 計量とホッジ作用素
12　Yang-Mills理論３　自己双対接続について理解する。
13　Yang-Mills理論４　自己双対接続の幾何学的な性質を説明できる。
14 インスタントン数
15　　まとめ 学んだことを総合的に理解する。　（到達度評価含む）

対面授業に出席することを求める 

1 Brief review of differential form and fiber bundle
2-3 connection on vector bundle: we can explain a connection on a vector bundle
4-5 curvature on vector bundle: we can explain a curvature on a vector bundle
6-8 example of gauge theories


case 1
9 Riemannian geometry 1 submanifolds
10 Riemannian geometry 2 connections on submanifolds
11 Riemannian geometry 3 connections on Riemannian manifolds
12 Riemannian geometry 4 Riemannian tensor and Ricci tensor
13 General relativity 1 Rotational symmetric Solution of Einstein equation
14 General relativity 2 Properties of black holes

case 2
9 Yang-Mills theory 1 Gauge symmetry
10 Yang-Mills theory 2 derivations of the Yang-Mills equation from the minimum principle
11 metric and Hodge operator
12 Yang-Mills theory 3 Self-dual connections
13 Yang-Mills theory 4 geometrical aspects of the self-dual connections
14 instanton number
15 summary

Attendance at all face-to-face classes is expected.

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理解度に応じて進度や内容は柔軟に変更する

The contents are flexibly changed according to comprehension degree

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