実解析Ｂ

Real Analysis B

9921134

21MAANA304

三村　与士文

Yoshifumi MIMURA

2026年度後期

2026年度

②Second semester

金曜6限

Friday, 6th period

理学部第二部　数学科

Department of Mathematics, Faculty of Science Division Ⅱ

2.00単位

講義

Lecture

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① [対面]対面授業/ [On-site] On-site class

現代解析学の基礎を成す測度論について学ぶ。後期ではFubiniの定理を理解し、応用できることを目標とする。キャリアとの関係では、測度空間の理論は数理ファイナンスの数学的理論と結びつくことを学ぶ。

Lebesgueの収束定理に続きFubiniの定理もまた解析学の多くの局面で重要な役割を果たしてきた。微積分で学ぶ程度の理論では二重積分の順序交換は容易ではなく、Lebesgue積分が果たす重要性を理解する。同時に多くの具体例を通して実際に運用する計算技術を養う。
本学科のディプロマ・ポリシーに定める『数学に関する基礎的な知識やそれを習得するための技法を利用して理論的に思考する能力、並びに自らの意見を表現するための記述、プレゼンテーション等のコミュニケーション能力を習得する。』を実現するための科目です。

１．Fubiniの定理を説明できる。
２．L^p空間の位相的性質を説明できる。
３．Fubiniの収束定理を用いた計算問題が解けるようになる。
４．Fourier解析への応用を理解できる。

リンク先の [評価項目と科目の対応一覧]から確認できます（学部対象）。
履修登録の際に参照ください。
​You can check this from “Correspondence table between grading items and subjects” by following the link(for departments).
https://www.tus.ac.jp/fd/ict_tusrubric/​​​

解析学１、２の基本内容を理解していることが望ましい。

課題に対する作文　Essay／小テストの実施　Quiz type test

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各回ごとに準備学習・復習を目的とする基本的な問題をプリントして配布する。必ずすべての問題を解いて講義に望むこと。

中間試験と期末試験によって評価する。成績割合は、中間試験40%、期末試験50%、授業参画度10%で評価する。

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

N

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教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/​​​

It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
​​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/

『ルベーグ積分』 溝畑茂 著、岩波書店、1994年発行、978-4000218313
『ルベーグ積分入門』 伊藤清三 著、裳華房、2017年発行、978-4785313180
『実解析入門』 猪狩惺 著、岩波書店、1996年発行、978-4000054447
『Measure, Integration & Real Analysis』Sheldon Axler著、Springer's Open Access Book、2020年発行、https://measure.axler.net/MIRA.pdf
『Introduction to Measure Theory and Integration』Ambrosio, Giuseppe Da Prato and Andrea Mennucci著、2011年発行、978-8876423857

1. 一般の集合上の積分 (1)
(準備学習) Lebesgue可測集合族がσ加法族であることを理解する。[2時間]
(復習) 抽象測度論でも同様に積分論が展開できることを理解する。
2. 一般の集合上の積分 (2)
(準備学習) 確率空間を中心に具体的な集合族がσ加法族となることを説明できる。[3時間]
(復習) 抽象測度論による収束定理を理解す。
3.　一般の集合上の積分 (3)
(準備学習) 確率論を中心に抽象測度論の必要性を理解する。[3時間]
(復習) 基本的な不等式を理解する。
4.　Fubiniの定理 (1)
(準備学習) Riemann積分の累次積分の理論を理解する。[4時間]
(復習) 直積σ加法族の構造を理解する。
5.　Fubiniの定理 (2)
(準備学習) 具体的な問題においてFubiniの定理を実行できる。[3時間]
(復習) 具体的な問題で利用できる。
6.　関数空間：L^p空間を中心に (1)
(準備学習) 連続関数空間が極限操作について脆弱であることを理解する。[3時間]
(復習) L^p空間の位相的性質を理解する。
7.　関数空間：L^p空間を中心に (2)
(準備学習) L^p空間がBanach空間であることを理解する。[3時間]
(復習) 特にL^2空間がHilbert空間となることを理解する。
8. 関数空間：L^p空間を中心に (3)
(準備学習) Dirichlet関数の例を説明できる。[3時間]
(復習) 単関数からLebesgue可積分関数へ定義を拡張できる。
9.　関数空間：L^p空間を中心に (4)
(準備学習) 連続関数空間がL^pのノルムで稠密であることを理解する。[3時間]
(復習) L^p空間以外の有用な空間について理解する。
10. Radon-Nikodymの定理 (1)
(準備学習) Riemann積分の置換積分について復習する。[3時間]
(復習) 絶対連続性と特異性について理解する。
11. Radon-Nikodymの定理 (3)
(準備学習) 符号付積分について理解する。[3時間]
(復習) Rieszの表現定理を復習する。
12. Radon-Nikodymの定理 (2)
(準備学習)L^2がHilbert空間であることを利用してRadon-Nikodymの定理を証明する 。[3時間]
(復習) 条件付期待値について理解する。
13. Fourier解析 (1)
(準備学習) 急減少関数について理解する。[3時間]
(復習) 畳み込みついて理解する。
14. Fourier解析 (2)
(準備学習) Plancherelの定理を理解する。[3時間]
(復習) Fourier変換がL^2空間で等長写像となることを理解する。
15.到達度評価
(準備学習) Lebesgue積分論が現代解析学で重要な役割を果たしていることを理解する。[3時間]
(復習) 特にFubiniの定理を正しく運用できる。

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なし

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