複素解析Ｂ

Complex Analysis B

9921A41

21MAANA206

辻　俊輔

Shunsuke Tsuji

2026年度後期

2026年度

②Second semester

月曜6限

Monday 6th Period

理学部第二部　数学科

Department of Mathematics, Faculty of Science Division Ⅱ

2.00単位

講義

Lecture

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① [対面]対面授業/ [On-site] On-site class

複素解析学とは「複素関数論」のことであり，複素変数に関して複素微分可能な複素 (数値) 関数（正則関数という）の性質を論ずる理論である。実関数に対する微分積分学（解析的性質）を複素関数に拡張したものである。しかし、単に２変数から２変数への関数の微分積分学とは異なる様相である。具体的には、線積分における顕著な性質（Cauchyの積分定理）と正則関数の「滑らかさ」と解析接続の３つの性質は実関数では見られない性質である。複素解析学を学ぶことは、次の３つの意味がある。一つ目は、歴史的に数学の世界を広げるきっかけとなった複素解析学を学ぶことで数学の素養を高めることである。二つ目は、代数学、整数論、幾何学、解析学などの多くの基礎的な分野において複素解析がでてくる可能性があり、複素解析学を学ぶことで研究の基礎を作ることである。三つ目は、応用上でも、流体力学、電磁気学、熱伝導論、航空力学などの分野でも必要不可欠な知識となっている複素解析学を知識として使う準備をすることである。以上のような状況を踏まえて，本講義 (『複素解析 A』，『複素解析 B』) では，1 変数複素関数論の初歩について，複素数からはじめて，留数定理などの正則関数の性質学ぶ。

『複素解析B』 では、『複素解析A』 の復習に引き続き、Cauchy の積分公式を証明し、重要な応用である留数の公式を紹介する。さらに、孤立特異点の分類をする。次にリーマン球面や１次変換などの定義を確認する。また、べき級数の一般論とともに Taylor 展開の定理、Laurent 展開の定理を導く。さらに、留数定理を用いる定積分の計算方法の具体例を解説する。最後に、正則関数のいくつかの重要な定理を導く。

１　Cauchy の積分公式により，線積分の計算できるようになる。
２　Taylor 級数，Laurent 級数を求めることができるようになる。
３　孤立特異点が分類でき，留数を求めることができるようになる。
４　いくつかの定積分が留数定理を利用して計算できるようになる。

リンク先の [評価項目と科目の対応一覧]から確認できます（学部対象）。
履修登録の際に参照ください。
​You can check this from “Correspondence table between grading items and subjects” by following the link(for departments).
https://www.tus.ac.jp/fd/ict_tusrubric/​​​

『複素解析A』 を修得していること、あるいは 『複素解析Ａ』 と同等の知識を有していることが必要である。また、積極的に問題練習をすることを望む。

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準備学習・復習については，「授業計画」 において指示する。

到達度評価演習と授業の参加と判断できる演習により評価する。欠席の回数が4回以上で到達度評価演習の成績が著しく低い場合は「-」の評価とする。到達度評価演習にレポートが課される可能性もある。

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

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教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/​​​

It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
​​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/

講義の最初に説明する。

全ての授業を対面で受講することを求める。

第1回 ： 正則関数　　 　
　　正則関数の定義、性質を復習する。
　　[準備学習] 　『複素解析A』 の講義ノートを読み，「複素積分」 について復習しておく。(1 時間)
　　[復習]　講義ノートを読み，授業内容を把握する。さらに授業で扱った問題を自分で解けるようにする。(2 時間)
　　
第2回 ： Cauchy の定理
　　Cauchyの定理の主張と応用を復習する。
　　[準備学習]　前回の授業内容を、例題などの再確認により、定着させておく。(1 時間)
　　[復習]　講義ノートを読み，授業内容を把握する。さらに授業で扱った問題を自分で解けるようにする。(2 時間)

第3回 ：特異点の分類と極の位数
　　特異点の分類と極の位数の定義を学ぶ。
　　[準備学習]　前回の授業内容を、例題などの再確認により、定着させておく。(1 時間)
　　[復習]　講義ノートを読み，授業内容を把握する。さらに授業で扱った問題を自分で解けるようにする。(2 時間)

第4回 ：留数の定義と公式
　　留数の計算について学ぶ。さらに留数定理について学ぶ。
　　[準備学習]　前回の授業内容を、例題などの再確認により、定着させておく。(1 時間)
　　[復習]　講義ノートを読み，授業内容を把握する。さらに授業で扱った問題を自分で解けるようにする。(2 時間)

第5回 ：留数の公式の応用
　　留数の公式を用いて複雑な積分を計算する。
　　[準備学習]　前回の授業内容を、例題などの再確認により、定着させておく。(1 時間)
　　[復習]　講義ノートを読み，授業内容を把握する。さらに授業で扱った問題を自分で解けるようにする。(2 時間)

第6回 ：フーリエ変換への応用
　　フーリエ変換と留数の公式の関係性を学ぶ。
　　[準備学習]　前回の授業内容を、例題などの再確認により、定着させておく。(1 時間)
　　[復習]　講義ノートを読み，授業内容を把握する。さらに授業で扱った問題を自分で解けるようにする。(2 時間)

第7回 ：リーマンの除去可能特異点定理
　　リーマンの除去可能特異点定理を通して特異点のそれぞれの特徴について学ぶ。
　　[準備学習]　前回の授業内容を、例題などの再確認により、定着させておく。(1 時間)
　　[復習]　講義ノートを読み，授業内容を把握する。さらに授業で扱った問題を自分で解けるようにする。(2 時間)
　　　　　
第8回 ：カゾラティ・ワイエルシュトラウスの定理
　　真性特異点の特徴について学ぶ。
　　[準備学習]　前回の授業内容を、例題などの再確認により、定着させておく。(1 時間)
　　[復習]　講義ノートを読み，授業内容を把握する。さらに授業で扱った問題を自分で解けるようにする。(2 時間)

第9回 ：リーマン球面
　　リーマン球面について学ぶ。とくに無限遠店での特異点を調べる。
　　[準備学習]　前回の授業内容を、例題などの再確認により、定着させておく。(1 時間)
　　[復習]　講義ノートを読み，授業内容を把握する。さらに授業で扱った問題を自分で解けるようにする。(2 時間)
　　　　　　　　　　　　　　　
第10回 ：有理型関数
　　遊離型関数の定義とその特徴について学ぶ。
　　[準備学習]　前回の授業内容を、例題などの再確認により、定着させておく。(1 時間)
　　[復習]　講義ノートを読み，授業内容を把握する。さらに授業で扱った問題を自分で解けるようにする。(2 時間)

第11回 ： Laurent 展開
　　Laurent 展開の定理を示し，具体的な複素関数の Laurent 級数を求める。
　　[準備学習]　前回の授業内容を、例題などの再確認により、定着させておく。(1 時間)
　　[復習]　講義ノートを読み，授業内容を把握する。さらに授業で扱った問題を自分で解けるようにする。(2 時間)
　　　　　　　　　　　　　
第12回 ：ルーシェの定理
　　偏角の原理とルーシェの定理の主張とその応用について学ぶ。
　　[準備学習]　前回の授業内容を、例題などの再確認により、定着させておく。(1 時間)
　　[復習]　講義ノートを読み，授業内容を把握する。さらに授業で扱った問題を自分で解けるようにする。(2 時間)

第13回 ：開写像定理、最大値の原理
　　開写像定理と最大値の原理の主張とその応用について学ぶ。
　　[準備学習]　前回の授業内容を、例題などの再確認により、定着させておく。(1 時間)
　　[復習]　講義ノートを読み，授業内容を把握する。さらに授業で扱った問題を自分で解けるようにする。(2 時間)

第14回 ： 対象原理とSchwartzの鏡像定理
　　対象原理とSchwartzの鏡像定理の主張とその応用について学ぶ。
　　[準備学習]　前回の授業内容を、例題などの再確認により、定着させておく。(1 時間)
　　[復習]　講義ノートを読み，授業内容を把握する。さらに授業で扱った問題を自分で解けるようにする。(2 時間)

第15回 ： 到達度評価と講評
　　後期の知識の習得を演習により確認する。
　　[準備学習]　第1 回〜第14 回の講義ノートを読み，内容を復習しておく。(2 時間)
　　[復習]　総復習により，後期の知識を確実に定着させておくこと。(2 時間)

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特になし

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