幾何学特論２

幾何学特論２

9911G21

11MAGEO402

大場　清

Kiyoshi OHBA

2026年度後期

2026年度

②Second semester

月曜2限

Monday 2nd Period　

理学部第一部　数学科

Department of Mathematics, Faculty of Science Division Ⅰ

2.00単位

講義

Lecture

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① [対面]対面授業/ [On-site] On-site class

幾何学３に引き続き特異ホモロジー理論の解説を行う．幾何学３では整数係数の特異ホモロジー群を中心に扱ったが，幾何学４では，単項イデアル整域上の加群を中心に一般係数の特異ホモロジー群と特異コホモロジー群を扱う．そしてクロス積やカップ積やキャップ積を導入し， Kunneth の公式，普遍係数定理，位相多様体の向きやポアンカレ双対定理などを解説する．

位相空間に対して，整数係数の特異ホモロジー群だけではなく，係数を一般係数へ拡張し，特異コホモロジー群も導入することにより，位相空間がより豊かな代数的な対象に対応していることを理解し，さらなる理論への確かな基盤を整えることを目的とする．

一般係数の特異ホモロジー群，特異コホモロジー群が如何なるものか，クロス積やカップ積やキャップ積が如何なるものか，位相多様体の向きが如何なるものかについて説明できるようになること，そして，Kunnethの公式，普遍係数定理，ポアンカレの双対定理を活用できるようになること等を到達目標とする．

リンク先の [評価項目と科目の対応一覧]から確認できます（学部対象）。
履修登録の際に参照ください。
​You can check this from “Correspondence table between grading items and subjects” by following the link(for departments).
https://www.tus.ac.jp/fd/ict_tusrubric/​​​

前期開講の幾何学３を履修していることが望ましい．また，環や加群の基礎知識を有していることが望ましい．

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特に定めない

期末レポートにより評価する。

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

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教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/​​​

It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
​​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/

「トポロジーの基礎 下」河澄 響矢 著 (東京大学出版会)
「位相幾何学」服部晶夫 著 (岩波書店)
「位相幾何学」河田敬義 編 (岩波書店)
「Algebraic Topology」 Allen Hatcher著 (Hatcher のHP)
など

1　 一般の加群を係数に持つ特異ホモロジー群の定義を理解する．
2　特異ホモロジー群に関する普遍係数定理の内容を理解する．
3　ホモロジー群における普遍係数定理の証明を理解する．
4　一般の加群を係数に持つ特異ホモロジー群の基本的な性質を理解する．
5　一般の加群を係数に持つ特異コホモロジー群の定義を理解する．
6　コホモロジー群における普遍係数定理の内容と証明を理解する．
7　ホモロジー群とコホモロジー群の間の普遍係数定理の内容と証明を理解する．
8　一般の加群を係数に持つ特異コホモロジー群の基本的な性質を理解する．
9　ホモロジー群，コホモロジー群それぞれにおけるクロス積を理解する．
10　コホモロジー群のカップ積を理解する．
11　コホモロジー群とホモロジー群の間のキャップ積を理解する．
12　Kunnethの公式を理解し，具体的な直積空間の（コ）ホモロジー群を求める．
13　位相多様体の向きについて理解する．
14　ポアンカレの双対定理の内容を理解する．
15　ポアンカレの双対定理の証明を理解する．

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