非平衡確率モデル特論

Probability Modelling for Non-equilibrium Physics

996C207

62PHBCS501

秋元　琢磨

Takuma Akimoto

2025年度前期

2025年度

①First semester

水曜2限

Wednesday/2nd

創域理工学研究科　先端物理学専攻

Department of Physics and Astronomy, Graduate School of Science and Technology

2.0単位

講義

Lecture

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① [対面]対面授業/ [On-site] On-site class

様々なランダムウォークを考え、単純なブラウン運動から異常拡散を示す複雑な現象までを理解する。

Studying several random walk models and a simple Brownian motion, you will get a deep understanding of complex phenomena exhibiting anomalous diffusion.

様々なランダムウォークモデルにおける解析手法を修得する。そして、このような単純なモデルが複雑現象を解析する上でいかに役立つかを理解する。

Learning analytical methods for some random walk models.
Understanding how useful the methods and simple models are to unravel complex phenomena.

ランダムウォークモデルにおける拡散性を特徴づける統計量を解析的に計算できる。複雑な現象に対して本質をとらえた（確率）モデルを提案できる。

- analytical calculations of statistical quantities characterizing diffusivity in random walk models
- constructing a simple model that captures intrinsic properties of complex phenomena

リンク先の [評価項目と科目の対応一覧]から確認できます（学部対象）。
履修登録の際に参照ください。
​You can check this from “Correspondence table between grading items and subjects” by following the link(for departments).
https://www.tus.ac.jp/fd/ict_tusrubric/​​​

確率論に関する基礎知識（離散及び連続変数）を有していることが望ましい。

It is desirable to have a fundamental knowledge of (discrete and continuous) probability theory.

課題に対する作文　Essay／プレゼンテーション　Presentation／実習　Practical learning

講義で示した結果を何も見ずに自分の手を動かして示してみる。

Proving the results that are provided in every lecture without seeing anything.

レポート（複数回提出）及び講義での発言・議論

Several reports and comments/questions in lectures

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

N

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教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/​​​

It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
​​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/

「確率論とその応用I・II」、ウィリアム・フェラー(著), 河田 龍夫 (監訳), 卜部 舜一 (翻訳)、（紀伊国屋書店）
「ランダムウォーク　はじめの一歩 ---自然現象の解析を見すえて---」、 J. Klafter, I. M. Sokolov （著）、秋元琢磨（訳）、共立出版株式会社

全ての授業を対面で受講することを求める。

1. １次元ランダムウォークと数学的準備
　　　　　１次元のランダムウォークを紹介し、これから必要となる確率論（分布関数、ラプラス変換、フーリエ変換など）の準備を行う。

2. １次元のランダムウォークから拡散方程式
　　　　　１次元のランダムウォークの連続極限を取ることにより拡散方程式を導出する。

3. 異常拡散
　　　　自然現象で見られる異常拡散現象を概観し、いくつかの確率モデルを紹介する。

4. 大数の法則と中心極限定理
　　　　　大数の法則と中心極限定理を証明する。

5. 拡張された中心極限定理
　　　　期待値が存在しない場合の確率変数の和の極限分布を紹介する。

6. 更新理論とタウバー型定理
　　　　これから必要となる更新理論とタウバー型定理を解説する。

7. 更新理論
　　　　更新数のモーメントの漸近挙動を示す。

8. 連続時間ランダムウォーク
　　　　　連続時間ランダムウォークを紹介し、変位の分布に関する方程式を導出する。

9. 連続時間ランダムウォークにおけるエルゴード性とエイジング現象 I
　　　　連続時間ランダムウォークにおける時間平均で定義された平均２乗変位のエルゴード性の破れとエイジングを示す。

10. 連続時間ランダムウォークにおけるエルゴード性とエイジング現象 II
　　　　連続時間ランダムウォークにおける時間平均で定義された平均２乗変位のエルゴード性の破れとエイジングを示す。

11. マスター方程式
　　　　連続時間ランダムウォークのマスター方程式を考える。

12. 非整数階の拡散方程式
　　　　遅い拡散（連続時間ランダムウォーク）における非整数階の拡散方程式を紹介する。

13. 待ち時間とジャンプがカップルしたランダムウォークモデル
　　　　レヴィウォークやその拡張モデルにおける平均２乗変位などを計算する。

14. レーザー冷却における無限測度エルゴード理論
　　　　　　　レーザー冷却の確率モデルにおける無限測度とその役割について学ぶ。

15. まとめと展望
　　　　　クエンチトラップモデルを紹介し、連続時間ランダムウォークとの違いと類似点を理解する。細胞内輸送や不均一な環境での拡散や身近な現象（人の行動やお金の移動など）をモデル化してみる。


1. One-dimensional random walk and mathematical preparations
I will introduce a one-dimensional random walk and provide some fundamental results on probability theory, e.g., distribution function, Laplace transform, Fourier transform.

2. From random walk to the diffusion equation
I will derive the diffusion equation from a one-dimensional random walk by taking a continuous limit.

3. Anomalous diffusion
I review anomalous diffusion in nature and introduce some stochastic models.

4. Law of large numbers and central limit theorem
I will prove the law of large numbers and the central limit theorem.

5. Generalized central limit theorem
I will introduce a distributional limit theorem for the sum of random variables with an infinite mean.

6. Renewal theory and Tauberian theorem
I will introduce renewal theory and Tauberian theorem, which will be essential later.

7. Renewal theory
The asymptotic behaviors of the moments of the number of renewals will be studied.

8. Continuous-time random walk
I will introduce the continuous-time random walk and derive the equation for displacement.

9. Ergodic properties and aging in continuous-time random walk I
I will show aging and ergodicity breaking for time-averaged mean square displacement in a continuous-time random walk.

10. Ergodic properties and aging in continuous-time random walk II
I will show aging and ergodicity breaking for time-averaged mean square displacement in a continuous-time random walk.

11. Master equation
I will provide the master equation for a continuous-time random walk.

12. fractional diffusion equation
I will introduce a fractional diffusion equation for a continuous-time random walk.

13. coupled continuous-time random walk
Mean square displacement for Levy walk and its generalization are studied.

14. infinite ergodic theory in subrecoil laser cooling
Infinite invariant measure and its role in subrecoil laser cooling are studied.

15. Summary and perspectives
I will introduce quenched trap model and compare it with a continuous-time random walk.
Modeling off complex phenomena such as transports in cells and traveling of money/human is considered.

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Mathematica／MATLAB/Simulink／-

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