幾何学特論D

Selected Topics on Geometry D

996B508

61MAGEO504

廣瀬　進

Susumu Hirose

2025年度前期

2025年度

①First semester

木曜2限

Thursday 2nd Period

創域理工学研究科　数理科学専攻

Department of Mathematics, Graduate School of Science and Technology

2.0単位

講義

Lecture

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① [対面]対面授業/ [On-site] On-site class

２，３，４次元という低い次元の多様体について研究する位相幾何学を低次元トポロジーという。この講義では、低次元トポロジーの中心的な研究対象である、結び目、組みひも群、写像類群について入門的な講義を行う。
Low dimensional topology is a field of topology reseraching on 2, 3 or 4 dimensional manifolds. In this course, we will introduce knot, braid group, and mapping class group, which are central objects in low dimensional topology. 

結び目、組みひも群、写像類群とそれに関わる位相幾何学の理論について理解する．
To understand knot, braid group and mapping class group and related thoery on topology.

結び目、組みひも群、写像類群について理解し、さらにそれらの研究に関連する話題についても理解する．　
To understand theory on knot, braid group and mapping class group, and topics related to these objects.

リンク先の [評価項目と科目の対応一覧]から確認できます（学部対象）。
履修登録の際に参照ください。
​You can check this from “Correspondence table between grading items and subjects” by following the link(for departments).
https://www.tus.ac.jp/fd/ict_tusrubric/​​​

多様体に関する基本的な知識を修得していることが望ましい。
We hope that students have basic knowledge on manifolds.

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各回の授業内容を関連する文献などを調べて十分復習し、次回の授業予定範囲で必要となる予備知識などを確認しておくこと。時間の目安は復習に２時間、準備学習に２時間である。　　
Review the contents of lectures, and basic knowledge necessary for the next lecture. -Two hours for preparation and two hours for reviewing is expected.

レポート等により総合的に評価する。
Reports on the course will be evaluated conprehensively.

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

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教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/​​​

It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
​​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/

参考文献は講義の際に紹介します。
We will introduce refenrenced on this course. 

1. 授業の概要

〇　結び目
2. 結び目の図式と不変量
3. ザイフェルト曲面とその一意性
4. 曲面上の1次ホモロジー群
5. ザイフェルト行列
6. アレクサンダー多項式

〇　組みひも群
7. 結び目と組みひもの関わり（アレクサンダーの定理）
8. 組みひも群と平面上の点配置空間
9. 組みひも群の生成系と表示
10.  組みひも群と平面上の同相写像

〇　写像類群について
11. 2次元トーラス上の写像類群
12. 写像類群のデーンツイストによる生成
13.ヒーガード分解
14. 3次元多様体とデーン手術

15. まとめ

原則、全ての授業を対面で実施する。 

1st: Guidence

Knots
2nd: Knot diagrams and invariants
3rd: Seifert surfaces and their uniquness
4th: 1-st homologies of surfaces
5th: Seifert matrix
6th: Alexander polynomial

Braid groups
7th: Relationship between knots and braids (Alexander's Theorem)
8th: Braid groups and configuration spaces on the plane
9th: Generatos and presentations of braid groups
10th: Braid groups and homeomorphisms on the plane

Mapping class groups
11th: Mapping class group of a two-dimensional torus
12th: Generating by Dehn twists
13th: Heegaard splitting
14th: 3-manifolds and Dehn surgery

15th: Review

All lectures are in-person class, in principle. 

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