先端代数学

Advanced Algebra

9961366

61MAALG305

八森　祥隆

Yoshitaka HACHIMORI

2025年度前期

2025年度

①First semester

水曜2限

2nd period, Wednesday

創域理工学部　数理科学科

Department of Mathematics, Faculty of Science and Technology

2.0単位

講義

Lecture

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① [対面]対面授業/ [On-site] On-site class

代数系、特に群と環の理論の基礎についての講義

・数学における大きな分野のひとつである代数学の、基本的な考え方と手法を習得すること。
・抽象的な代数的思考の有用性を実感し自分で実践可能な程度に会得すること。
・本学科のディプロマポリシーに定める、「数学における基礎学力と、その上に立つ専門知識」と、「修得した専門知識や教養をもとに、自ら課題を発見し、解決する能力」を主に身につける科目である。
・本学科カリキュラムポリシーに定める、代数の専門的能力を養うための「専門科目」の講義であり、「専門知識を深化させ、併せて他の授業科目との関連や学問探求の方法を学び、問題発見・解決能力の育成を図る」科目である。

・群の定義、部分群、準同型、剰余類と剰余類分解の手法、群の準同型定理、群の作用とその応用などの話題に関し、定義や重要な定理を述べることができる。
・定義、多項式環、体や整域などの環に関する概念や例、イデアルと剰余環、環の準同型定理とその応用などの話題に関し、定義や重要な定理を述べることができる。
・理論を形づくる一連の命題、定理たちが成立つメカニズムを説明できる。
・上記の話題に関する、簡単な具体例について計算や説明ができる。

リンク先の [評価項目と科目の対応一覧]から確認できます（学部対象）。
履修登録の際に参照ください。
​You can check this from “Correspondence table between grading items and subjects” by following the link(for departments).
https://www.tus.ac.jp/fd/ict_tusrubric/​​​

2023年度以降入学の学生については、この科目は3年生以上の先端数理系の学生向けである。

小テストの実施　Quiz type test／-

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各回の授業前に２時間、授業後に２時間を目安として準備学習と復習を行うこと。その範囲は各回ごとに指示する。

授業に臨む積極的態度と、必要に応じ出題されるレポート課題や筆記試験による授業内容の理解度の確認を前提として、到達度評価試験で評価する。
試験問題とレポート問題については、授業時間内またはLETUS上において解答例を提示する予定。

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

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教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/​​​

It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
​​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/

・「代数入門--群と加群--」 堀田良之著 裳華房 2021年 ISBN978-4-7853-1413-2
・「代数と数論の基礎」中島匠一著 共立出版 2000年 ISBN978-4-320-01561-6
・「代数学入門」石田信著 実教出版 1978年 ISBN978-4-407-02193-6
・「代数学 I 群と環」桂利行著 東京大学出版会 2004年 ISBN978-4-13-062951-5
・「代数学１群論入門」雪江明彦著 日本評論社 2023年 ISBN978-4-53-578997-5
・「代数学２環と体とガロア理論」雪江明彦著 日本評論社 2023年 ISBN978-4-53-578998-2

 すべての授業を対面で受講することを求める。

第１回：序　代数学についての概説： 代数学のおおよその枠組みと、諸分野への代数学の応用や関わりを理解する。
第２回：群（１）　群の定義といくつかの例： 群の公理、主な群の例を理解する。
第３回：群（２）　部分群と剰余集合： 部分群の定義を理解し、実例において部分群か否かの判定ができる。部分群による剰余集合の意味を理解し、簡単な例を計算できる。
第４回：群（３）　正規部分群と剰余群： 正規部分群による剰余集合が群の構造を持つことを理解し、代表的な剰余群における演算ができる。
第５回：群（４）　群準同型と準同型定理： 群準同型の定義を理解する。群の準同型定理を理解し、それを用いて異なる群の間の群同型を構成できる。
第６回：群（５）　群の作用と例： 群の作用の定義と代表的な例を理解する。類等式を理解する。
第７回：群（６）　シローの定理： 有限群の構造の決定に重要な役割を担うシローの定理とその有用性を理解する。
第８回：まとめ　既習事項の理解の確認
第９回：環（１）　環の定義と例： 環の公理、環の例を理解する。
第１０回：環（２）　部分環： 部分環の定義を理解し、実例において部分環か否かの判定ができる。
第１１回：環（３）　イデアル： イデアルの定義を理解し、実例においてイデアルか否かの判定ができる。イデアルに関する基本的な概念を理解する。
第１２回：環（４）　剰余環： イデアルによる剰余集合が環の構造を持つことを理解し、代表的な剰余環における演算ができる。
第１３回：環（５）　環準同型と準同型定理： 環準同型の定義を理解する。環の準同型定理を理解し、それを用いて異なる環の間の同型を構成できる。
第１４回：環（６）　素イデアルと極大イデアル：素数の概念の一般化である素イデアルと極大イデアルの定義とその有用性を理解する。
第１５回：まとめ　既習事項の理解の確認

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特になし

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