線形代数２

Linear Algebra 2

9941342

41COFUN102

佐藤　喜一郎

Ki-ichiro Sato

2025年度後期

2025年度

②Second semester

金曜1限

Friday 1st Period

工学部　建築学科

Department of Architecture, Faculty of Engineering

2.0単位

講義

Lecture

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⑦ [遠隔]オンライン授業（同期）/ [Remote]Online (synchronized remote)

[概要]
　前期の「線形代数１」で学んだ、行列や行列式に関する演算、および逆行列の求め方や連立１次方程式の解法などの線形代数学に特有の計算技法に基づいて、後期の「線形代数２」では、線形空間の基本的枠組みの下に線形変換や線形写像や内積空間などの基礎概念について理解を深め、行列の固有値、固有ベクトルおよび固有空間の求め方、および正方行列の対角化手法について学ぶことができる。特に固有値は多くの工学モデル（力学系モデル）が記述される偏微分方程式系の数理解析あるいは数値解析における重要な基礎概念となっているので、しっかりと学び習得を心がけることが肝要である。

[目的]
　一般の連立１次方程式のシステマテイックな解き方など線形代数学に特有な計算技法を基盤とし、固有値や固有ベクトルなどの基礎概念の数学的な意味や応用の具体的事例を理解し、工科系の専門書を数理的に読み解くための基礎力を身に付ける。
本学・学科の定めるデイプロマ・ポリシーの第２項「建築学分野で必要な基礎学力と、その上に立つ専門知識」の獲得を実現するための科目である。

[到達目標]
１　線形空間の部分集合がいつ部分空間となるかを説明できる。
２　線形空間の基底から正規直交基を作ることができる。
３　与えられた基底の下で、線形写像の表現行列を求めることができる。
４　行列の固有値、固有ベクトルおよび固有空間とその次元を求めることができる。
５　行列の対角化の数学的意味を説明できると同時に、行列を対角化するための正則行列を
　　実際に求めて行列の対角化を実行できるようになる。

リンク先の [評価項目と科目の対応一覧]から確認できます（学部対象）。
履修登録の際に参照ください。
​You can check this from “Correspondence table between grading items and subjects” by following the link(for departments).
https://www.tus.ac.jp/fd/ict_tusrubric/​​​

前期開講の「線形代数１」の履修・単位習得を前提としている。

授業はオンライン同期授業を基本として講義を進める。しかし、場合によっては非同期遠隔（リモート）授業を併用して授業を進めることがある。また、必要に応じてハイフレックス型授業とのブレンド型授業も取り入れることもある。変更が生じた場合には、LETUSを通して知らせる。

課題に対する作文　Essay／小テストの実施　Quiz type test／-

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準備学習として「線形代数１」のないようの復習は、極めて重要である。仮に「線型代数1」の単位を取得していても、BやCでの合格では、この授業で習得すべき基本概念の方向性が分かっても、結果に結びつけるための計算ができず、結果として単位取得に結び付けられない可能性がある。特に、後半の行列の対角化の節においては、行列式の計算、逆行列の公式、連立一次方程式の解法全般・掃き出し法などをフルに活用して計算を行うので、１つでも弱点を残しておくと全く手がつかない状態になり困ることになる。

各回の講義内容を十分復習し、中心となる定理（数学上の主結果）は何を言っているのか、あるいは数学的な主張は何か、について説明できる程度まで理解を深めるようにしておくこと。シラバスには教科書該当項目を列挙し、LETUSには授業進行についての記述を加えておくので、予習を確実に行う。

また、定理の内容の有効性は具体的な例題の計算によって確認されるので、復習はさらに重要である。例えば、毎回１コマの授業に対して、予習に１時間かけるとすると復習には３時間以上かけるというように、復習に重点をおくほうが望ましい。LETUSには講義資料だけではなく、板書内容なども公開するので、活用する。また具体的な計算問題は早く正確にできるようになるまで各自が繰り返し問題を解くことに時間をかけることが大切である。

レポート課題・小テスト30% 到達度評価試験70% で評価を行う。

レポート課題や小テストに関しては、提出締め切り後に答え、あるいは解答例の提示をLETUS上で行う。そのため、期限後・解答例の提示後の提出は評価の対象にはならないので注意すること。

到達度評価試験に関しては、講義に出席し継続的に課題提出を行っているのが前提条件である。

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

Y

三宅敏恒著、「線形代数学 　 初歩からジョルダン標準形へ」、培風館、4-563-00381-6

教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/​​​

It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
​​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/

佐武一郎著、線形代数、共立講座21世紀の数学2、共立出版、978-4-320-01554-8
赤尾和夫著、線形代数と群、共立講座21世紀の数学3、共立出版、978-4-320-01555-5

[ ]は準備学習、復習に必要な時間の目安

1   集合と代数
集合とは、積集合、数の集合(自然数、整数、有理数体、実数体、複素数体)と群・体の公理、代数学の基本定理［２時間］
【教科書該当項目】LETUSに参考資料を提示する

2  ベクトル空間１　ベクトル空間とは
ベクトル空間の公理、線型結合・（一次結合）、部分空間、ベクトル空間の例、解空間
【教科書該当項目】4.1 ベクトル空間（部分空間、解空間）

3 ベクトル空間2 　一次独立と一次従属
内容：ベクトルの１次独立や１次従属の概念を理解する。与えられたベクトルの組が
１次独立であるか、１次従属であるか判別できるようになる。[２時間]
【教科書該当項目】４．２一次独立一次従属（基本ベクトル、一次結合、）

4　ベクトル空間3 　ベクトル空間の次元・基底　
　　内容：ベクトル空間の基底や次元の概念を理解する。[２時間]
【教科書該該当項目】４．３ベクトルの一次独立な最大個数
4.4ベクトル空間の基と次元、標準基、ベクトル空間の次元、基本解、解空間の次元、解空間の自由度、

5　線形写像1 　　
　　内容：線形写像、とくに線形変換について詳しく学ぶ。線形写像の具体例に関して、
　　その写像の像(Image)と核(Kernel)を具体的に示すことができるようになる。
　　[２時間]
【教科書該該当項目】 5.1 線形写像、零写像、線型写像の像と核、階数と退化次数、

6　線形写像2 　　
　　内容：線形写像の表現行列を求めることができるようになる。これを通して線形代数
　　学における行列の意味を理解し知ることができる。つぎにベクトル空間の基底を取り
　　替えた場合、その基底変換行列と対応する線形写像の表現行列を求めることができる
　　ようになる。[３時間]
【教科書該該当項目】5.2線形写像の表現行列、表現行列と基の変換行列、線形変換

7　線形写像3 　　
　　内容：基本となるベクトル空間とその上の線形写像と対応する表現行列が与えられた
　　場合、線形写像の像および核の次元とその表現行列の階数との関係について理解する。
　　その応用として、一般の連立１次方程式の解ベクトル空間や一般解を求めることがで
　　きるようになる。[２時間]
【教科書該該当項目】5.2線形写像の表現行列、表現行列と基の変換行列、線形変換


8　固有値、固有ベクトルと固有空間 　　
　　内容：固有値、固有ベクトルおよび固有空間の定義を知る。固有多項式や固有方程式
　　の定義と意味を理解する。行列の固有値、固有ベクトルおよび固有空間を求めること
　　ができるようになる。[２時間]
【教科書該該当項目】5.3固有値と固有ベクトル、固有空間、固有多項式、Cayey-Hamiltonの定理
5.3.2一般の場合の固有値と固有空間の計算


9　行列の対角化（１） 　　
　　内容：正方行列の相似性と対角化可能性の意味を知る。正方行列が対角化可能である
　　ための必要十分条件について学ぶ。また対角化可能であるための十分条件や、固有値
　　との関係についても理解を深める。[２時間]
【教科書該該当項目】5.4行列の対角化、複素係数体上の対角化

10　行列の対角化（２） 　　
　　内容：行列の固有値を求めることにより、与えられた行列が対角化可能であるか調べ
　　ることができるようになる。またその行列を対角化する正則行列を具体的に求めるこ
　　とができるようになる。[３時間]
【教科書該該当項目】5.4行列の対角化、複素係数体上の対角化

11　内積空間 １　　
　　内容：内積空間（または計量ベクトル空間）、直交変換、ユニタリ変換について学ぶ。
　　グラムーシュミットの直交化法により、正規直交基をつくることができるようになる。
　　[２時間]
【教科書該該当項目】6.1内積、ノルム、主ワルツ、ベクトルの直交、直交補空間、6.2正規直交基と直交行列、直交変換、直交行列。
7.1ベクトル空間の同型、単位変換、同型写像と逆写像、一対一写像、上への写像、行列全体の集合、零写像、線型変換の全体と同型変換、冪零変換、線形汎関数と双対空間、双対基、双対写像、同値関係、同値類、代表元、商集合、部分空間で定義される同値関係、商空間（剰余空間）、

12　内積空間２ 　　
  　　グラムーシュミットの直交化法により、正規直交基をつくることができることを使って、ベクトル空間を（射影でできる）部分空間とその直交補空間の直和に分解する、の意味を確実にする。
　　[２時間]
【教科書該該当項目】
7.2空間の直和と最小多項式、多項式のイデアル、ベクトル空間の直和に分解、線形変換の最小多項式、正方行列の最小多項式、線形変換の直和、行列の直和、補空間、

13　実対称行列とエルミート行列 　　
　　内容：エルミート行列の対角化について学ぶ。その特殊なケースに当たる実対称行列
　　の対角化について理解し、実対称行列の具体例を対角化し、その対角化する直交行列
　　を求めることができるようになる。
      [３時間]
【教科書該該当項目】6.3対称行列の対角化、複素共役、上三角化、７　エルミート空間


14　固有値問題・行列の対角化の応用、ベクトル同士の積　　
　　内容：行列の固有値問題・対角化に関連する話題を中心に、各種問題の演習を通し
　　て理解を深め、基本的な練習問題を解くことができるようになる。
テンソル積や３次元ベクトル空間におけるベクトル積について学ぶ
【教科書該該当項目】６．４　2次形式、直交変換、2次形式の表し方、直交変数変換と2次形式の対角化、2次形式の標準形、2次形式の符号、主小行列、正定値2次形式、半正定値2次形式、負定値2次形式、
7.2空間の直和と最小多項式、多項式のイデアル、ベクトル空間の直和に分解、線形変換の最小多項式、正方行列の最小多項式、線形変換の直和、行列の直和、補空間、

15　後期到達度評価試験・総括を行う。後期まとめ
　　内容：後期の授業で学んだ内容に対して自分の理解度・目標の到達度を再確認する
　　と同時に、重要項目に関連する標準的な例題を完全に解けるようになる。

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