代数構造特論C

Advanced Algebraic Structure Theory C

991BC58

11MAALG514

片岡　武典

Takenori Kataoka

2025年度前期

2025年度

①First semester

水曜3限

Wednesday 3rd Period

2.0単位

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① [対面]対面授業/ [On-site] On-site class

岩澤理論の初歩を学ぶ．

This is a lecture on the fundamentals of Iwasawa theory.

整数論の一分野である岩澤理論は，代数体のイデアル類群の考察を起点としているが，その後さまざまな数学的対象への類似が発見されている．特に近年ではグラフ理論への類似が見出されており，それは元来の岩澤理論よりもはるかに学びやすい上に，岩澤類数公式や岩澤主予想などの重要な現象を観察できる．この講義では，グラフの岩澤理論をトイモデルとして用いながら，岩澤理論の初歩を学ぶ．

Iwasawa theory is a branch of number theory that originates from the study of ideal class groups of number fields. Analogues of Iwasawa theory have been found in various mathematical settings. In recent years, an analogue for graphs is developing. This analogue is much more accessible, and moreover, we can observe important Iwasawa-theoretic phenomena, such as the Iwasawa class number formula and the Iwasawa main conjecture. In this lecture, we study the fundamentals of Iwasawa theory using Iwasawa theory for graphs as a toy model.

・代数学の発展的な事項(逆極限など)を理解し，説明できる．
・岩澤理論の基礎となる代数的背景(岩澤代数や岩澤代数上の加群の構造定理)を理解し，説明できる．
・グラフのヤコビアンの定義や，その岩澤類数公式を理解し，説明できる．
・代数体のイデアル類群の岩澤類数公式の機序を理解し，説明できる．

- Students should be able to explain advanced topics in algebra, such as inverse limits.
- Students should be able to explain the algebraic background of Iwasawa theory, such as Iwasawa algebras and the structure theorem of modules over Iwasawa algebras.
- Students should be able to explain the definition and the Iwasawa class number formula for the Jacobian groups of graphs.
- Students should be able to explain the theoretical structure of the Iwasawa class number formula for the ideal class groups of number fields.

リンク先の [評価項目と科目の対応一覧]から確認できます（学部対象）。
履修登録の際に参照ください。
​You can check this from “Correspondence table between grading items and subjects” by following the link(for departments).
https://www.tus.ac.jp/fd/ict_tusrubric/​​​

代数学の基本事項(群論，環論，体論，ガロア理論，環上の加群の理論)は習得していることを前提とする．代数的整数論の基礎事項(イデアル類群など)は事実の紹介にとどめるため，既に習得していることが望ましい．

This lecture builds upon fundamentals of algebra (groups, rings, fields, Galois theory, modules over rings). The fundamentals of algebraic number theory (such as ideal class groups) will be presented only as facts, so prior knowledge is recommended.

課題に対する作文　Essay

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講義内容の復習を毎回しっかりと行うこと．特に，講義中の証明で細部が省略された場合は自分で補い完成させること．

Review the lecture material thoroughly after each class. In particular, independently complete the details of proofs that are omitted during the lecture.

レポートによる．

Evaluated by reports.

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

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教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
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岩澤理論に関するテキスト：
L. C. Washington, Introduction to Cyclotomic Fields (Springer, GTM 83)
J. Neukirch, A. Schmidt, K. Wingberg, Cohomology of Number Fields (Springer)
福田隆 著『重点解説 岩澤理論』(サイエンス社)
落合理 著『岩澤理論とその展望（上）』 (岩波書店)

グラフ理論に関するテキスト：
A. Terras, Zeta Functions of Graphs: A Stroll through the Garden (Cambridge University Press)

1. Overview

2. P-adic integers
3. Inverse limits
4. Profinite groups and Iwasawa algebras
5. Formal power series
6. Structure theorem of modules up to pseudo-isomorphism

7. Graphs and Jacobians
8. Coverings of graphs
9. Iwasawa class number formula for graphs (1)
10. Iwasawa class number formula for graphs (2)
11. Iwasawa main conjecture for graphs

12. Ideal class groups
13. Overview of class field theory
14. Iwasawa class number formula for ideal class groups
15. Related topics

All students are required to attend all the classes in person, in principle.

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受講生の状況に応じて計画を変更する可能性があります．
The plan may be changed depending on the participants' situation.

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