代数学講究4 （功刀）

Research in algebra 4

991B543

11MAALG602

功刀　直子

Naoko Kunugi

2025年度後期

2025年度

②Second semester

金曜3限

Friday 3rd. Period

理学研究科　数学専攻

Department of Mathematics, Graduate School of Science

2.0単位

講義

Lecture

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① [対面]対面授業/ [On-site] On-site class

有限群のモジュラー表現論の基本事項をセミナー形式で学ぶ。　　

We learn about basic concepts of modular representation theory of finite groups in seminar style classes.

有限群のモジュラー表現では，群環上の加群は半単純加群とはならない。半単純ではない加群の構造を調べるうえで重要となる多元環の表現論の一般論を学び，有限群のモジュラー表現論に応用する。

In modular representations of finite groups, a module over a group algebra is not semisimple in general.　
In this course, we aim at learning general theory on representation theory of finite dimensional algebras which is important for investigation of non-semisimple modules and applying those to modular representations of finite groups.

1. 群環上の加群の議論に特有なvertex, source 等について理解する。
2．Green対応の理論を用いて直既約加群の構造を調べる手法を理解し，具体例に応用できる
3．有限群のブロックに関するBrauerの理論を理解する。

1．Understand verticies and sources for modules over group algebras
2. Understand general method to investigate indecomposable modules using theory of Green correspondences and apply them to some examples.
3. Understand Brauer's theory for blocks of finite groups.

リンク先の [評価項目と科目の対応一覧]から確認できます（学部対象）。
履修登録の際に参照ください。
​You can check this from “Correspondence table between grading items and subjects” by following the link(for departments).
https://www.tus.ac.jp/fd/ict_tusrubric/​​​

特になし。
Nothing special.

プレゼンテーション　Presentation

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毎回授業の前に，予習，復習を必ず行うこと（10時間）
Be sure to prepare and review before each class (10 hours)

プレゼンテーションの出来ばえ，議論への参加の積極性を加味して評価する。

To be evaluated in taking account of the presentation's performance level and positiveness of participation in discussion.

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

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教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/​​​

It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
​​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/

P. Webb "A Course in Finite Group Representation Theory"
J. L. Alperin "Local representation theory"
永尾・津島　有限群の表現

1.分解体
2. 単純加群の個数に関するBrauer の定理の証明１
3.単純加群の個数に関するBrauer の定理の証明２
4. Reduction modulo pと分解写像１
5. Reduction modulo p と分解写像2
6. cde triangles１
7. cde triangles２
8. Defect 0 のブロック
9. Brauer指標 1
10. Brauer指標2
11. 直交関係とGrothendieck 群
12. 直交関係とGrothendieck 群
13. Brauer 指標とcde triangle
14. 計算例2
15. まとめ

1. Splitting field
2. The number of simple modules in positive characteristic(Brauer's Theorem)1
3. The number of simple modules in positive characteristic(Brauer's Theorem)1
4. Reduction modulo p and the decomposition map 1
5. Reduction modulo p and the decomposition map 2
6. The cde triangle 1
7. The cde triangle 2
8. Blocks of Defect Zero
9. Brauer Characters 1
10. Brauer Characters 2
11. Orthogonality Relations and Grothendieck Groups 1
12. Orthogonality Relations and Grothendieck Groups 2
13. The cde triangles in terms of Brauer characters.
14. Examples
15. Summary

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