代数学講究3 （功刀）

Research in algebra 3

991B533

11MAALG601

功刀　直子

Naoko Kunugi

2025年度前期

2025年度

①First semester

金曜3限

Friday 3rd. Period

理学研究科　数学専攻

Department of Mathematics, Graduate School of Science

2.0単位

講義

Lecture

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① [対面]対面授業/ [On-site] On-site class

有限群のモジュラー表現論の基本事項をセミナー形式で学ぶ。　　

We learn about basic concepts of modular representation theory of finite groups in seminar style classes.

有限群のモジュラー表現では，群環上の加群は半単純加群とはならない。半単純ではない加群の構造を調べるうえで重要となる多元環の表現論の一般論を学び，有限群のモジュラー表現論に応用する。

In modular representations of finite groups, a module over a group algebra is not semisimple in general.　
In this course, we aim at learning general theory on representation theory of finite dimensional algebras which is important for investigation of non-semisimple modules and applying those to modular representations of finite groups.

１．半単純環の構造定理を理解する。
２．群環が半単純環となる条件を理解する（マシュケの定理）
３．直既約分解の一意性に関するKrull-Schmidt の定理を理解する。
４．直既約射影加群と単純加群の対応を理解する。　

1. Understand the structure thoerem for semisimple algebras.
2. Understand the condition that the group algebra to be semisimple(Maschke's Theorem).
3. Understand the Krull-Schumidt theorem on the uniquness of indecomposable decompositions.
4. Understand the correspondence between the indecomposable projective modules and the simple modules.

リンク先の [評価項目と科目の対応一覧]から確認できます（学部対象）。
履修登録の際に参照ください。
​You can check this from “Correspondence table between grading items and subjects” by following the link(for departments).
https://www.tus.ac.jp/fd/ict_tusrubric/​​​

特になし。
Not specified.

プレゼンテーション　Presentation

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毎回授業の前に，予習，復習を必ず行うこと（10時間）
Be sure to prepare and review before each class (10 hours)

プレゼンテーションの出来ばえ，議論への参加の積極性を加味して評価する。

To be evaluated in taking account of the presentation's performance level and positiveness of participation in discussion.

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

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教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/​​​

It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
​​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/

J.L. Alperin, Local representation theory,
永尾・津島　有限群の表現

セミナー形式で有限群のモジュラー表現に関する基礎事項を学ぶ。

1.巡回不足群をもつブロックの構造: Brauer trees の定義と巡回不足群の構造に関する主定理の紹介
2.巡回不足群をもつブロックの構造:Nilpotent blocks
3.巡回不足群をもつブロックの構造:Localなブロックの構造の決定
4.巡回不足群をもつブロックの構造:射影被覆,Heller作用素
5.巡回不足群をもつブロックの構造:単純加群とそのExtension
6.巡回不足群をもつブロックの構造: 直既約加群の構造とBrauer graph
7.巡回不足群をもつブロックの構造：巡回不足群の構造に関する主定理の証明
8. p-置換加群
9. Scott 加群
10.相対射影被覆
11.フュージョン・システム：いくつかの用語の定義
12.フュージョン・システム
13. Brauer construction
14. 圏同値1: 森田同値，森田型安定同値，導来同値
15. 圏同値2: 張り合わせの原理



1. Cyclic blocks 1:  Brauer trees, Statement of the structure theorem for blocks with cyclic defect groups
2. Cyclic blocks 2: Nilpotent blocks
3. Cyclic blocks 3:Structures of local blocks
4. Cyclic blocks 4:Projective covers, Heller operator.
5 Cyclic blocks 5: Simple modules and their extensions
6. Cyclic blocks 6: The structures for indecomposable modules and Brauer graph
7.Cyclic blocks 7:Proof of Main theorem
8. p-Permutation modules
9. Scott modules
10. Relative projective covers
11. Fusion systems 1
12.Fusion systems 2
13.  Brauer constructions
14.  Category equivalences 1
15. Category equivalences 2

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