微分方程式論２

Theory of Differential Equations 2

9914610

14MAANA302

宇内　昭人

Akihito Unai

2025年度後期

2025年度

②Second semester

水曜1限

Wednesday 1st Period

理学部第一部　応用数学科

Department of Applied Mathematics, Faculty of Science Division Ⅰ

2.0単位

講義

Lecture

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① [対面]対面授業/ [On-site] On-site class

微分方程式の基本テーマであり最も重要な「解の存在と一意性」に焦点を当てた解説を行います。
「単独の正規形１階微分方程式」から始めて「正規形１階微分方程式系」の解の存在と一意性を、先ず古典的な手法である「Picardの逐次近似法」を用いて示します。更に、現代的な観点(完備距離空間における縮小写像の原理)から同じ定理を再考します。そして、「解の初期値及び方程式に関する連続性」へと進みます。
余力があれば、必ずしも解の一意性が成り立たない場合の(解の)存在定理である「Cauchy-Peanoの存在定理」も紹介します。
（以下の”授業計画”はあくまでも計画であり学生諸君の理解の様子に応じて、少々変わることもあります）

微分方程式は、自然科学は言うまでもなく、社会科学や工学上の様々な現象を記述する数学的道具として極めて有用であり、古くから多くの研究がなされてきた．その基本事項を理解し、身に付ける．その過程で論理的思考能力や問題解決能力を養う．
本学科のディプロマ・ポリシーに定める『数学を中心とする基礎知識を習得し、数学の応用領域を体系的かつ統合的に理解できる能力』を養成するための科目である．

微分方程式の「解の存在と一意性」の証明を古典的 及び 現代的視点から考察することで数学の発展していく様子を感じ取ってほしい。一つの定理を複数の手法で考察することにより、相互関係も明らかになりより理解が深まり、以前の方法では見えなかった新たな気づきがあることを期待したい。結果的に、この授業が物事をごまかさず筋道立てて考えられる力を身につけるための”きっかけ”となってほしいと考えています。

リンク先の [評価項目と科目の対応一覧]から確認できます（学部対象）。
履修登録の際に参照ください。
​You can check this from “Correspondence table between grading items and subjects” by following the link(for departments).
https://www.tus.ac.jp/fd/ict_tusrubric/​​​

この授業では、「1年次の微積分」、「続微積分１(関数項級数の収束)」、「続微積分２(縮小写像の原理)」に関することは既知として進められますが、関数項級数の収束や縮小写像の原理は重要なので、証明抜きでそれらの概念は授業の中で説明します。
とはいえ、解析学の基本事項はある程度正しく考察できる力がなければ難しいと感じると思います。

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履修上の注意で述べたいくつかの概念を理解できていない場合は、先ずそれらを理解することに努めてください。
あなたがこの授業で初めて微分方程式の解の存在と一意性を学ぶのであれば、予習よりも復習をしっかり行ってください(2時間程度)。
数学は１つ１つの概念が積み重なり構築されます。前回の授業で理解できていないまま進むと、たちどころにわからなくなります。

１〜２回の中間テスト(小テスト)と期末テストにより評価する。
尚、極端に出席が少ない場合は不合格とすることがある。

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

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教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/​​​

It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
​​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/

必要なら授業で紹介します。

1.  微分方程式の概念
　　正規形微分方程式
　　高階微分方程式と1階微分方程式系との関係を理解する

2．正規形1階微分方程式
　　 Picardの逐次近似法のideaを理解し、具体例にPicardの逐次近似法を適用する

3.  問題演習と解析学の基礎事項
　　連続関数列の一様収束、WeierstrassのM-判定法、極限と積分の順序変更などに関する復習

4．正規形1階微分方程式
　　Picardの逐次近似法のideaに基づき解の一意存在定理を証明する

5．正規形1階微分方程式系
　　2. の連立方程式versionを扱う
　　ベクトル値関数に対する基本的な取り扱いを理解する
　　具体的な問題で感覚を養う

6．正規形1階微分方程式系の解の存在と一意性の定理の証明
　　Picardの逐次近似法のideaに基づき解の一意存在定理を証明する


7．正規形1階微分方程式系の再考(〜現代的な観点から〜)
　　完備距離空間の縮小写像の原理の基本事項(証明はナシ)
　　関数空間の設定

8．正規形1階微分方程式系の再考(続き)
　　完備距離空間の縮小写像の原理に基づき解の一意存在定理を証明する

9．8.の結果の改良

10．解の初期値及び方程式に関する連続性
　　  解の初期値及び方程式に関する連続性の意義を理解し、
　　  Gronwallの不等式を用いて、解が初期値及び方程式に関し連続に依存することを示す

11．問題演習

12．Cauchy-Peanoの存在定理
　　 Cauchy-Peanoの存在定理という「解が一意とは限らない場合の存在定理」を示す準備
　　連続関数族の一様有界性 及び 同程度連続性の概念
　　Ascoli-Arzelaの定理を理解する

13．Cauchy-Peanoの存在定理の証明

14．Cauchy-Peanoの存在定理の証明の続きとAscoli-Arzelaの定理の証明

15．到達度試験

本科目は原則として全ての講義回を対面講義として実施する対面授業科目である 

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