数学特別講義３

Topics in Mathematics 3

9911G08

11MAGEO405

山川　大亮

2025年度後期

2025年度

②Second semester

金曜4限

理学部第一部　数学科

Department of Mathematics, Faculty of Science Division Ⅰ

2.0単位

講義

Lecture

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① [対面]対面授業/ [On-site] On-site class

コンパクトリーマン面の理論を学ぶ。

コンパクトリーマン面の理論を学ぶことで代数学、幾何学、解析学の理解を深め、更に高次元の複素幾何学を学ぶための素養を身につける。

コンパクトリーマン面に関する３種の神器（リーマン・ロッホの定理、セール双対定理、消滅定理）を身につけ、応用することができるようになる。

リンク先の [評価項目と科目の対応一覧]から確認できます（学部対象）。
履修登録の際に参照ください。
​You can check this from “Correspondence table between grading items and subjects” by following the link(for departments).
https://www.tus.ac.jp/fd/ict_tusrubric/​​​

多様体論の基礎事項を予備知識として仮定する。

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特に定めない。

期末レポートにより評価する。

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

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教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/​​​

It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
​​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/

随時紹介する。

1 　　べき級数と正則関数
正則関数およびその級数展開について復習し、正則関数に関する逆関数定理を紹介する。
2 　　リーマン面
リーマン面を定義し、その例としてリーマン球面を構成する。
3 　　正則写像
リーマン面間の正則写像、およびその分岐指数を定義する。
4　　コンパクトリーマン面上の正則写像
リーマン・フルヴィッツの定理を紹介する。
5 　　楕円曲線
楕円曲線を定義し、２つの楕円曲線が同型になるための必要十分条件を紹介する。
6 　　超楕円曲線
アフィン平面代数曲線を用いて超楕円曲線を構成する。
7 　　有理型関数
有理型関数を定義し、その２つの見方について解説する。
8 　　有理型微分
有理型微分を定義する。
9 　　位数と留数
有理型微分の位数および留数を定義する。
10　　留数定理
有理型微分の線積分を定義し、留数定理を紹介する。
11　　種数
算術種数を定義し、コンパクトリーマン面上の有理型微分の位数の和を求める。
12　　因子
因子を定義し、因子で抑えられた有理型関数の空間が有限次元であることを証明する。
13　　リーマン・ロッホの定理
リーマン・ロッホの定理を紹介する。
14　　セールの双対定理
セールの双対定理を紹介する。
15　　まとめ
当該授業科目の内容の総括を行う。

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