積分論

Integration Theory

9911358

11MAANA301

長田　祐輝、太田　雅人

2025年度前期

2025年度

①First semester

月曜2限、月曜3限

理学部第一部　数学科

Department of Mathematics, Faculty of Science Division Ⅰ

3.0単位

講義/演習

Lecture/Seminar

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① [対面]対面授業/ [On-site] On-site class

現代数学の重要な基礎理論の1つであるルベーグ積分の基礎と応用について解説する。

ルベーグ積分は確率論，関数解析，フーリエ解析，偏微分方程式論など解析学の多く分野で重要な理論である。2年次までに学んだリーマン積分は解析学の現代的理論には不十分であり，ルベーグ積分が必要となる。ルベーグ積分の基礎を身につけ，応用できることを目的とする。

リンク先の [評価項目と科目の対応一覧]から確認できます（学部対象）。
履修登録の際に参照ください。
​You can check this from “Correspondence table between grading items and subjects” by following the link(for departments).
https://www.tus.ac.jp/fd/ict_tusrubric/​​​

「位相1」を履修していること。
「確率論1」と関係が深いため，同時に履修することを強く推奨する。

課題に対する作文　Essay／小テストの実施　Quiz type test

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各回の授業前に1時間以上、講義資料の該当する部分を読んでおくこと。授業後には授業内容を1時間以上復習すること。

到達度評価80%、小テストおよびレポート課題20%

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

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講義資料をLETUSで公開する。

教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/​​​

It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
​​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/

必要に応じて紹介する。

第1-2回　可測空間
シグマ代数，ボレル集合族，拡大実数直線，可測空間の直積について理解する。
第３回　可測関数
可測関数の定義と基本的な性質を理解する。
第4回　測度空間
測度の定義と基本的な性質を理解する。
第５-6回　非負値関数の積分
非負値可測関数の積分の定義と基本的な性質，単調収束定理と Fatou の補題について理解する。
第7-8回　実数値関数の積分
非負値とは限らない一般の実数値可測関数に対する積分の定義と基本的な性質，優収束定理について理解する。
第9回　測度の一意性と存在
測度の一意性定理，Hopf の拡張定理について理解し，1次元ルベーグ測度の構成に応用できる。
第10回　直積測度
Hopf の拡張定理を用いた直積測度の構成について理解する。
第11-12回　フビニの定理
フビニの定理の証明を理解する。
第13-14回　積分の変数変換の公式
積分の変数変換の公式の証明を理解する。
第15回　到達度評価と復習
当該授業における到達度を到達度評価により確認する。その後、授業として当該授業科目の内容の総括を行う。

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