位相幾何学特論

Advanced topology

996D23D

63MAALG601

野口　健太

Kenta Noguchi

2024年度前期

2024 First Semester

水曜3限

Wednesday 3rd Period

創域理工学研究科　情報計算科学専攻

Department of Information Sciences, Graduate School of Science and Technology

2.0単位

講義

Lecture

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① [対面]対面授業/ [On-site] On-site class

数学・情報科学における論理的な理解力を養うために、視覚的な理解が可能である位相幾何学（トポロジー）を扱う。とくに現実世界で具体的に構成可能である2次元閉多様体（閉曲面）を、様々な角度から分析することにより、抽象的な事象と具体的な事象の繋がりを学ぶ。

For acquiring logical thinking skills in mathematics/information sciences, students learn topology, which is visually understandable.
By analyzing two-dimensional manifolds that are achievable in real world, from many perspectives, students learn the connection between abstract and concrete phenomena.

位相幾何学の知識と考え方を通して、抽象的な概念と現実世界の具体的な事例を結びつける論理的な思考力を修得する。
　本専攻のディプロマ・ポリシーに定める「情報科学専攻の専門分野に応じた高度な専門知識、および、研究能力」を獲得するための科目である。

Through knowledge and thinking about topology, students acquire logical thinking skills in conjugating abstract concepts and concrete examples.
The purpose is to acquire "advanced expertise and research ability according to the specialized field of information sciences major" defined in the Diploma Policies.

１　閉曲面の定義と性質を、複数の言葉で理解し説明することができる。また閉曲面の分類定理を理解することができる。
２　与えられた抽象的な事象を、具体例な表現として書くことができる。

1. To be able to understand and explain the definition and properties of closed surfaces, and to understand the classification theorem of closed surfaces.
2. To be able to write a given abstract phenomenon as a concrete expression.

リンク先の [評価項目と科目の対応一覧]から確認できます（学部対象）。
履修登録の際に参照ください。
​You can check this from “Correspondence table between grading items and subjects” by following the link(for departments).
https://www.tus.ac.jp/fd/ict_tusrubric/​​​

特になし

Not specified

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予習と復習を合わせて週4時間を目安とする。とくに各回の講義内容の復習を重点的に行うこと。

Two hours for preparation and two hours for reviewing is expected.
Review the content of each lecture carefully.

レポートおよび筆記試験により、総合的に評価する。

Evaluated by exercises in class and reports.

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

N

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教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
​https://mirai.kinokuniya.co.jp/tokyorika/​​​

It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
​​https://mirai.kinokuniya.co.jp/tokyorika/

「楽しもう射影平面」　大田春外著　日本評論社、2016年発行、978-4535787452
「低次元の幾何からポアンカレ予想へ ~世紀の難問が解決されるまで~」　市原一裕著　技術評論社、2018年発行、978-4774194783

「ざっくりわかるトポロジー」　名倉真紀 今野紀雄 共著　サイエンス・アイ新書、2018年発行、978-4797364446

※開講順序や内容は変更の可能性があります。(The contents are subject to change.)

第１回：位相幾何学とは　背景の説明と用語の定義
第２回：多様体　定義と基本的な問題意識
第３回：閉曲面とその表現（１）　ホモトピーと位相同型
第４回：閉曲面とその表現（２）　様々な閉曲面・向き付け可能性
第５回：閉曲面とその表現（３）　閉曲面の展開図と表示式
第６回：閉曲面のオイラー標数（１）　多面体・平面グラフ
第７回：閉曲面のオイラー標数（２）　オイラー標数による分類
第８回：閉曲面の分類定理（１）　ハンドル・クロスキャップと連結和
第９回：閉曲面の分類定理（２）　具体的な基本変形による位相同型判定
第１０回：閉曲面の分類定理（３）　一般的な基本変形による位相同型判定
第１１回：閉曲面の分類定理（４）　分類定理とその証明の概略
第１２回：閉曲面の分類定理（５）　閉曲面の基本群
第１３回：3次元多様体（１）　これまでの話の3次元への拡張
第１４回：3次元多様体（２）　分類定理とポアンカレ予想
第１５回：まとめ

1. Introduction to topology: Explanation of the background and definition of terms
2. Manifolds: Definition and basic problems
3. Closed surfaces (1): Homotopy and homeomorphisms
4. Closed surfaces (2): Examples and orientability
5. Closed surfaces (3): Representation of closed surfaces by developed views
6. The Euler characteristic (1): Polyhedra and plane graphs
7. The Euler characteristic (2): Classification by the Euler characteristic
8. The classification theorem (1): Handles, crosscaps, and their connected sums
9. The classification theorem (2): Cut and paste operations
10. The classification theorem (3): Cut and paste operations in general cases
11. The classification theorem (4): A sketch of proof of the theorem
12. The classification theorem (5): The fundamental group of closed surfaces
13. Three-dimensional manifolds (1): Extension to three-dimensional manifolds
14. Three-dimensional manifolds (2): The classification theorem and the Poincaré conjecture
15. Conclusion

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