応用数理特論D

Selected Topics on AppliedMathematics D

996B519

61MAAPM502

青木　宏樹

Hiroki Aoki

2024年度前期

2024 First Semester

金曜2限

Friday 2nd Period

創域理工学研究科　数理科学専攻

Department of Mathematics, Graduate School of Science and Technology

2.0単位

講義

Lecture

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① [対面]対面授業/ [On-site] On-site class

保型形式論は、19世紀の楕円関数論を端緒に、複素幾何学において重要な役割を果たす理論に成長し、また整数論においても重要な役割を果たしていることが認識され、純粋数学の諸分野を横断する理論として、20世紀の数学の花形のひとつとなった。一方、符号理論は、暗号理論と並び、電子的な情報通信技術の進歩とともに発祥・成長してきた、応用数理で発展の著しい分野のひとつである。この両者は、一見まったく別のことを扱っているように思えるが、20世紀末頃から、お互いに深く関係しあっているらしいことが見えてきた。「応用数理特論２」では、その壮大な世界の一部、特に基礎的な理論と実社会への応用例について、学部で学んだ代数学・幾何学・複素解析学の知識をベースに、概観する。

The theory of modular forms, which originated in the theory of elliptic functions in the 19th century, has grown into a theory that plays an important role in complex geometry, and is also in number theory. Nowadays, this theory is one of the flowering theories of mathematics as it crosses various fields of pure mathematics. On the other hand, coding theory, along with cryptography, is one of the most rapidly developing areas of applied mathematics, having originated and grown along with the progress of digital communication technology. At first glance, these two fields seem to deal with completely different things, but since the end of the 20th century, it has become apparent that they are deeply related to each other. In this course, a part of this grand world, especially the basic theories and their applications to the real world, will be reviewed based on the knowledge of algebra, geometry and complex analysis learned in the undergraduate course.

・保型形式についての基本事項を理解する。
・符号理論についての基本事項を理解する。
・純粋数学と応用数理とのかかわりを理解する。

* To understand the basics of modular forms.
* To understand the basics of coding theory.
* To understand the relationship between pure mathematics and applied mathematics.

・保型形式についての基本事項を説明できる。
・符号理論についての基本事項を説明できる。
・純粋数学と応用数理とのかかわりを具体的な例とともに説明できる。

* To be able to explain the basics of modular forms.
* To be able to explain the basics of coding theory.
* To be able to explain the relationship between pure mathematics and applied mathematics with concrete examples.

リンク先の [評価項目と科目の対応一覧]から確認できます（学部対象）。
履修登録の際に参照ください。
​You can check this from “Correspondence table between grading items and subjects” by following the link(for departments).
https://www.tus.ac.jp/fd/ict_tusrubric/​​​

特になし。
Not specified.

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各回の授業内容を十分復習し、次回の授業予定範囲で必要となる予備知識などを確認しておくこと。時間の目安は復習に２時間、準備学習に２時間である。

Review the contents of the lecture in order to understand them well. (About 2 hours)
For the next lecture study the related articles to obtain prior knowledge. (About 2 hours)

レポートにより評価する。
Evaluated by reports.

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

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教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
​https://mirai.kinokuniya.co.jp/tokyorika/​​​

It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
​​https://mirai.kinokuniya.co.jp/tokyorika/

必要な書物・論文などはゼミ中に指示する。
Textbooks and papers are indicated in the seminar.

1. 有限体 Finite field
2. 符号理論の紹介 Introduction to the coding theory
3. 線形符号の基礎 Linear codes
4. 符号の限界式 Bound for codes
5. ハミング符号 Hamming codes
6. 巡回符号 Cyclic codes
7. リード・ソロモン符号 Reed-Solomon codes
8. マック・ウィリアムズの公式 Mac Williams Identity
9. 符号のゼータ多項式 Zeta functions of codes
10. 符号のリーマン予想 Riemann hypothesis on codes
11. 符号と格子 Codes and Lattices
12. 保型形式 Modular forms
13. テータ関数 Theta functions
14. 符号と保型形式 Codes and Modular forms
15. まとめ Remarks

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